C语言每日一练——第90天:青蛙跳台阶(升级版)

🌟 前言

Wassup guys,我是你们的机哥😎 (好几个朋友发私信都叫我机哥)

今天是C语言每日一练,第90天!

Let’s get it!
在这里插入图片描述



1. 基础问题

🍑 题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶,也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
 
诺,就像下面这样👇
在这里插入图片描述

🍑 解题思路

其实我一看到这道题,我也是懵的🤔,不知道从哪里着手分析,那我们就从最简单的情况开始分析。

假如 n = 1,一共有一级台阶,显然就只有一种跳法
 
一次跳1阶;👇
在这里插入图片描述
假如 n = 2,一共有两级台阶,共有两种跳法
 
跳1阶,再跳1阶👇
在这里插入图片描述
跳2阶👇
在这里插入图片描述
假设n = 3,共有三种跳法。
 
跳1阶,跳1阶,再跳1阶👇
在这里插入图片描述
跳1阶,再跳2阶👇
在这里插入图片描述
跳2阶, 再跳1阶👇
在这里插入图片描述
(注:此过程图是我从网上找的,实在是难得画啦😂)

通过上面的分析,我们可以这样思考问题🤔

前往楼梯顶部的最后一步,要么跳1阶,要么跳2阶;
在这里插入图片描述
先假设

f

(

n

)

f(n)

f(n)为 n 级台阶的总跳法数;
 
那么第一次如果选择跳一级的话,剩下的 n-1 级台阶的跳法数就为

f

(

n

−

1

)

f(n-1)

f(n−1)。
 
如果第一次跳两级的话,剩下的 n-2 级台阶的跳法就是

f

(

n

−

2

)

f(n-2)

f(n−2);
 
现在青蛙一次只能跳一级或两级,所以我们可以推出以下公式:
在这里插入图片描述
咦,这玩意儿不就是我们 斐波那契数 吗?🤔
 
只不过有一点不同的是,斐波那契数列一般是以1,1,2,3,5,8,13……开始的;
 
而我们这是以1,2,3,5,8,13……开始的,少了最前面的一个1。
 

🍑 代码实现

上面说到这个过程有点类似于斐波那契数,但又不完全是,所以我们先看主代码部分👇

#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
    if (n < 3)
    {
        //假设n的范围是[0, 3]
        return n;
    }
    else
    {
        //n>3的时候
        return jump(n - 1) + jump(n - 2);
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);
    
    printf("小青蛙有 %d种 跳法n", ret);
    return 0;
}

运行结果👇

在这里插入图片描述
但是,我们来看一下计算的过程👇
 
要计算

f

(

6

)

f(6)

f(6),就需要先计算出子问题

f

(

5

)

f(5)

f(5) 和

f

(

4

)

f(4)

f(4)
 
然后要计算

f

(

5

)

f(5)

f(5),又要先算出子问题

f

(

4

)

f(4)

f(4) 和

f

(

3

)

f(3)

f(3),以此类推。
 
一直到

f

(

2

)

f(2)

f(2) 和

f

(

1

)

f(1)

f(1),递归树才终止。
 
因此,青蛙跳阶,递归解法的时间复杂度 等于

O

(

1

)

∗

O

(

2

n

)

=

O

(

2

n

)

O(1) * O(2^n) = O(2^n)

O(1)∗O(2n)=O(2n)在这里插入图片描述
你仔细观察这颗递归树,你会发现存在「大量重复计算」;
 
比如

f

(

4

)

f(4)

f(4)被计算了两次,

f

(

3

)

f(3)

f(3)被重复计算了3次…所以这个递归算法低效的原因,就是存在大量的重复计算!

所以我们可以对代码进行优化

🍅 递归升级

在递归法的基础上,新建一个长度为

n

n

n 的数组,用于在递归时存储

f

(

0

)

f(0)

f(0) 至

f

(

n

)

f(n)

f(n) 的数字值,重复遇到某数字时则直接从数组取用,避免了重复的递归计算。
 
所以我们设置一个数组,用于存放第一次计算某一个

n

n

n的jump(n)。
 
当每一次要计算一个jump(n)的时候,就先查看数组中以

n

n

n 为下标的地方是否有值,有的话就可以不调用jump(n),而直接从数组中取得结果值,否则再计算jump(n)。

📝代码实现

#include <stdio.h>

long int f[1000]={0};
int jump(int n){
    //当只有一阶台阶的时候,只有一种上台阶的方式。
    
    //当有2阶台阶的时候,有2种上台阶的方式,一种是一次上一阶,还有一种是一次上2个台阶。
    
    //现在设有n阶台阶,如果n>2,那种应该有(先跳一阶)+(先跳2阶)的方式
    
    //如果先跳一阶,那么就有jump(n-1)中方式。如果先跳2阶,那么就有jump(n-2)中方式。
    
    //因此可以知道共有jump(n-1) + jump(n-2)种方式。
    if(n==1)
    {
        f[1]=1;
        return f[1];
    }

    if(n==0)
    {
        f[0]=1;
        return f[0];
    }

    if(n==2)
    {
        f[2]=2;
        return f[2];
    }
    else
    {
        if(f[n-1]!=0)
        {
            if(f[n-2]!=0)
            {
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
            else
            {
                f[n-2]=jump(n-2);
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
        }
        else
        {
            if(f[n-2]!=0)
            {
                f[n-1]=jump(n-1);
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
            else
            {
                f[n-1]=jump(n-1);
                f[n-2]=jump(n-2);
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法n", ret);
    return 0;
}

运行结果👇

在这里插入图片描述

🍅 动态规划解法

很快我又发现,不必把所有的记录都记起来;
 
假设我有3阶楼梯,我只需要知道跳2阶和跳1阶的方法数是多少就可以算出跳3阶的方法数;
 
因此每次只需要保留

n

−

1

n-1

n−1阶 和

n

−

2

n-2

n−2阶 的方法数。

📝代码实现

#include <stdio.h>

int jump(int n)
{
    //n=0、1、2的时候,直接返回n即可
    if (n < 3)
    {
        return n;
    }
    
    //第一个数为1
    int one = 1;

    //第二个数为2
    int two = 2;

    //用于存放前两个数之和
    int sum = 0; 
    while (n > 2)
    {
        sum = one + two;
        one = two;
        two = sum;

        n--;
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法n", ret);
    return 0;
}

运行结果👇

在这里插入图片描述

2. 问题升级

🍑 题目描述

一只青蛙一次可以跳上一级台阶,也可以跳上二级台阶……,也可以跳n级,求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。

🍑 解题思路

一只青蛙要想跳到n级台阶,可以从一级,二级……,也就是说可以从任何一级跳到n级👇
在这里插入图片描述
当台阶为1级时,

f

(

1

)

=

1

f(1)=1

f(1)=1;
 
当台阶为2级时,

f

(

2

)

=

1

+

1

=

2

f(2)=1+1=2

f(2)=1+1=2;
 
当台阶为3级时,

f

(

3

)

=

f

(

1

)

+

f

(

2

)

+

1

=

4

f(3)=f(1)+f(2)+1=4

f(3)=f(1)+f(2)+1=4;
 
当台阶为4级时,

f

(

4

)

=

f

(

1

)

+

f

(

2

)

+

f

(

3

)

+

1

=

8

f(4)=f(1)+f(2)+f(3)+1=8

f(4)=f(1)+f(2)+f(3)+1=8;
 
当台阶为5级时,

f

(

5

)

=

f

(

1

)

+

f

(

2

)

+

f

(

3

)

+

f

(

4

)

+

1

=

16

f(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+1=16

f(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+1=16;
 
所以递推公式我们很容易就能想到:

f

(

n

)

=

f

(

n

−

1

)

+

f

(

n

−

2

)

+

…

…

+

f

(

2

)

+

f

(

1

)

+

f

(

0

)

f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……+f(2)+f(1)+f(0)

f(n)=f(n−1)+f(n−2)+……+f(2)+f(1)+f(0)
 
最后这个

f

(

0

)

f(0)

f(0)是可以去掉的,因为0级就相当于没跳,所以

f

(

0

)

=

0

f(0)=0

f(0)=0
 
然后我们把

f

(

0

)

f(0)

f(0)去掉再转换一下:

f

(

n

−

1

)

=

f

(

n

−

2

)

+

f

(

n

−

3

)

+

…

…

+

f

(

2

)

+

f

(

1

)

f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+……+f(2)+f(1)

f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+……+f(2)+f(1);

推导过程👇

我们列两个等式:
 
①

f

(

n

)

=

f

(

n

−

1

)

+

f

(

n

−

2

)

+

f

(

n

−

3

)

+

…

+

f

(

2

)

+

f

(

1

)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) +f(n-3) + … + f(2) + f(1)

f(n)=f(n−1)+f(n−2)+f(n−3)+…+f(2)+f(1)
 
②

f

(

n

−

1

)

=

f

(

n

−

2

)

+

f

(

n

−

3

)

+

…

+

f

(

2

)

+

f

(

1

)

f(n-1) = f(n-2) +f(n-3) + … + f(2) + f(1)

f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+…+f(2)+f(1)
 
由①-②得,

f

(

n

)

=

2

f

(

n

−

1

)

f(n) = 2f(n-1)

f(n)=2f(n−1)

🍑 代码实现

🍅 递归方法

📝代码示例

int jump(int n)
{
    if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return 2 * jump(n - 1);
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法n", ret);
    return 0;
}

运行结果👇

在这里插入图片描述

🍅 非递归方法

当然这里也可以用非递归的方式来实现
 
那么非递归怎么去思考呢?
 
可以这样理解:
 

f

(

1

)

=

1

=

2

0

f(1) = 1 = 2^0

f(1)=1=20
 

f

(

2

)

=

1

+

f

(

1

)

=

2

=

2

1

f(2) = 1 + f(1) = 2 =2^1

f(2)=1+f(1)=2=21
 

f

(

3

)

=

1

+

f

(

2

)

+

f

(

1

)

=

4

=

2

2

f(3) = 1 + f(2) + f(1) =4 = 2^2

f(3)=1+f(2)+f(1)=4=22
 

f

(

4

)

=

1

+

f

(

3

)

+

f

(

2

)

+

f

(

1

)

=

8

=

2

3

f(4) = 1 + f(3) + f(2) + f(1) = 8 =2^3

f(4)=1+f(3)+f(2)+f(1)=8=23
…

f

(

n

)

=

2

(

n

−

1

)

f(n)=2^{(n-1)}

f(n)=2(n−1);
 
然后使用用函数pow(2,n -1),需要加头文件<math.h>
 
但是我们这里可以不用库函数来实现,给大家介绍一种神奇的运算

📝代码示例

int jump(int n)
{
    if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return 1 << (n-1);
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法n", ret);
    return 0;
}

运行结果👇

在这里插入图片描述
我这里选择用<<左移操作符来计算

3. 特性总结

其实这道算法题的本质可以说就是斐波那契数的衍生;
 
反言之,对于算法,我的理解:算法本质就是数学的解题过程

本图文内容来源于网友网络收集整理提供,作为学习参考使用,版权属于原作者。
THE END
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