【数字信号处理】线性时不变系统 LTI ( 判断某个系统是否是 “ 非时变 “ 系统 | 案例三 )
一、判断系统是否 " 非时变 "
1、案例二
给定 输入序列
x
(
n
)
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
0
}
x(n) = { 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 }
x(n)={0,1,2,3,4,5,0} ,
n
n
n 取值
−
1
-1
−1 ~
5
5
5
判断其输出序列
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
y(n) = x(n^2)
y(n)=x(n2) 的 " 变换 " 操作是否是 " 时不变 " 的 ;
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
y(n) = x(n^2)
y(n)=x(n2) 变换操作 :
y
(
n
)
y(n)
y(n) 只有在
n
=
−
1
,
0
,
1
,
2
n = -1 , 0 , 1 , 2
n=−1,0,1,2 取值时 , 才有值 ,
如果
n
=
3
n = 3
n=3 ,
n
2
=
9
n^2 = 9
n2=9 ,
x
(
9
)
x(9)
x(9) 没有值 ;
如果
n
=
4
n = 4
n=4 ,
n
2
=
16
n^2 = 16
n2=16 ,
x
(
16
)
x(16)
x(16) 没有值 ;
如果
n
=
5
n = 5
n=5 ,
n
2
=
25
n^2 = 25
n2=25 ,
x
(
10
)
x(10)
x(10) 没有值 ;
因此 , 正常变换后 ,
y
(
n
)
y(n)
y(n) 的取值是
n
=
0
,
1
,
2
n = 0 , 1 , 2
n=0,1,2 时的取值 ,
当
n
=
−
1
n = -1
n=−1 时 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
(
−
1
)
2
)
=
x
(
1
)
=
2
y(n) = x(n^2) = x((-1)^2) = x(1) = 2
y(n)=x(n2)=x((−1)2)=x(1)=2 ;
当
n
=
0
n = 0
n=0 时 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
0
2
)
=
x
(
0
)
=
1
y(n) = x(n^2) = x(0^2) = x(0) = 1
y(n)=x(n2)=x(02)=x(0)=1 ;
当
n
=
1
n = 1
n=1 时 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
1
2
)
=
x
(
1
)
=
2
y(n) = x(n^2) = x(1^2) = x(1) = 2
y(n)=x(n2)=x(12)=x(1)=2 ;
当
n
=
2
n = 2
n=2 时 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
2
2
)
=
x
(
4
)
=
5
y(n) = x(n^2) = x(2^2) = x(4) = 5
y(n)=x(n2)=x(22)=x(4)=5 ;
其中
−
1
-1
−1 和
1
1
1 的平方都为
1
1
1 , 合并成一个 ;
x
(
n
)
x(n)
x(n) 正常变换后的取值为 :
y
(
n
)
=
{
1
,
2
,
5
}
y(n) = { 1, 2, 5 }
y(n)={1,2,5}
① 时不变系统概念
时不变系统 ( time-invariant ) : 系统特性 , 不随着时间的变化而变化 ;
y
(
n
−
m
)
=
T
[
x
(
n
−
m
)
]
y(n - m) = T[x(n-m)]
y(n−m)=T[x(n−m)]
输入延迟后 , 输出也随之延迟 ;
与 " 时不变 " 系统对应的是 " 时变 " 系统 ;
② 先变换后移位
将 " 输出序列 " 进行移位 , 先 " 变换 " 后 " 移位 " ;
先将 " 输入序列 " 进行 " 变换 " 操作 , 得到 " 输出序列 " , 然后对 输出序列 进行 " 移位 " 操作 ;
其中 " 变换 " 指的是 , 离散时间系统 , 将 " 输入序列 " 变换 为 " 输出序列 " , 输入序列 到 输出序列 之间的操作 , 是 " 变换 " ;
变换操作 : 先将 输入序列
x
(
n
)
x(n)
x(n) 进行 变换 操作 , 得到 输出序列
x
(
n
2
)
x(n^2)
x(n2) ,
移位操作 : 然后 对
x
(
n
2
)
x(n^2)
x(n2) 输出序列 进行移位
n
−
n
0
n - n_0
n−n0 得到
x
(
(
n
−
n
0
)
2
)
x((n-n_0)^2)
x((n−n0)2) ,
完整运算过程如下 :
y
(
n
−
n
0
)
=
x
(
(
n
−
n
0
)
2
)
y(n - n_0) = x((n-n_0)^2)
y(n−n0)=x((n−n0)2)
先变换 , 变换后输出为 :
y
(
n
)
=
{
1
,
2
,
5
}
y(n) = { 1, 2, 5 }
y(n)={1,2,5}
后移位的取值为 : 向右移一位 ;
y
(
n
−
1
)
=
{
0
,
1
,
2
,
5
}
y(n-1) = { 0, 1, 2, 5 }
y(n−1)={0,1,2,5}
③ 先移位后变换
将 " 输入序列 " 进行移位 , 先进行移位 , 将 " 输入序列
x
(
n
)
x(n)
x(n) " 先进行 " 移位 " 操作 , 得到 新的 " 输入序列 " 为
x
(
n
−
n
0
)
x(n-n_0)
x(n−n0) , 然后 对新的输入序列进行 " 变换 " 操作 , 得到 " 输出序列 " ;
变换过程是
T
[
x
(
n
−
n
0
)
]
=
x
(
n
2
−
n
0
)
T[x(n - n_0)] = x(n^2 - n_0)
T[x(n−n0)]=x(n2−n0) , 变换时 , 只是将
n
n
n 值变为
n
2
n^2
n2 ,
n
0
n_0
n0 值不动 ;
x
(
n
−
n
0
)
x(n-n_0)
x(n−n0) 变换时 , 只将
n
n
n 乘以
2
2
2 ,
n
0
n_0
n0 不变 , 变换结果如为
x
(
2
n
−
n
0
)
x(2n - n_0)
x(2n−n0) ;
完整过程如下 :
T
[
x
(
n
−
n
0
)
]
=
x
(
n
2
−
n
0
)
T[x(n - n_0)] = x(n^2 - n_0)
T[x(n−n0)]=x(n2−n0)
先将
x
(
n
)
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
0
}
x(n) = { 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 }
x(n)={0,1,2,3,4,5,0} ,
n
n
n 取值
−
1
-1
−1 ~
5
5
5 , 向右移位 , 移位后的序列 :
x
(
n
)
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
x(n) = { 0, 1 , 2, 3, 4, 5 }
x(n)={0,1,2,3,4,5}
n
n
n 取值
0
0
0 ~
6
6
6 , 移位后的序列图式如下 :
向右移位 1 后 ,
n
n
n 取值 由原来的
−
1
-1
−1 ~
5
5
5 变为了
0
0
0 ~
6
6
6 ,
y
(
n
)
y(n)
y(n) 只有在
n
=
0
,
1
,
2
n = 0 , 1 , 2
n=0,1,2 取值时 , 才有值 ,
如果
n
=
3
n = 3
n=3 ,
n
2
=
9
n^2 = 9
n2=9 ,
x
(
9
)
x(9)
x(9) 没有值 ;
如果
n
=
4
n = 4
n=4 ,
n
2
=
16
n^2 = 16
n2=16 ,
x
(
16
)
x(16)
x(16) 没有值 ;
如果
n
=
5
n = 5
n=5 ,
n
2
=
25
n^2 = 25
n2=25 ,
x
(
10
)
x(10)
x(10) 没有值 ;
因此 , 正常变换后 ,
y
(
n
)
y(n)
y(n) 的取值是
n
=
0
,
1
,
2
n = 0 , 1 , 2
n=0,1,2 时的取值 ,
当
n
=
0
n = 0
n=0 时 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
0
2
)
=
x
(
0
)
=
0
y(n) = x(n^2) = x(0^2) = x(0) = 0
y(n)=x(n2)=x(02)=x(0)=0 ;
当
n
=
1
n = 1
n=1 时 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
1
2
)
=
x
(
1
)
=
1
y(n) = x(n^2) = x(1^2) = x(1) = 1
y(n)=x(n2)=x(12)=x(1)=1 ;
当
n
=
2
n = 2
n=2 时 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
2
2
)
=
x
(
4
)
=
4
y(n) = x(n^2) = x(2^2) = x(4) = 4
y(n)=x(n2)=x(22)=x(4)=4 ;
x
(
n
−
1
)
x(n - 1)
x(n−1) 正常变换后的取值为 :
T
(
x
(
n
−
1
)
)
=
{
0
,
1
,
4
}
T(x(n -1 )) = { 0, 1, 4 }
T(x(n−1))={0,1,4}
④ 结论
先 " 变换 " 后 " 移位 " , 结果是
x
(
(
n
−
n
0
)
2
)
x((n-n_0)^2)
x((n−n0)2) , 输出序列 为
y
(
n
−
1
)
=
{
0
,
1
,
2
,
5
}
y(n-1) = { 0, 1, 2, 5 }
y(n−1)={0,1,2,5}
先 " 移位 " 后 " 变换 " , 结果是
x
(
n
2
−
n
0
)
x(n^2 - n_0)
x(n2−n0) , 输出序列为
T
(
x
(
n
−
1
)
)
=
{
0
,
1
,
4
}
T(x(n -1 )) = { 0, 1, 4 }
T(x(n−1))={0,1,4}
该系统是 " 时变系统 " ;