C语言每日一练——第154天:牛顿迭代法求方程根

🌟 前言

Wassup guys,我是Edison 😎

今天是C语言每日一练,第154天!

Let’s get it!

在这里插入图片描述


1. 问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。
 
方程为

a

x

2

+

b

x

2

+

c

x

+

d

=

0

ax^2+bx^2+cx+d=0

ax2+bx2+cx+d=0,系数a,b,c,d 由主函数输入。
 

x

x

x

1

1

1 附近的一个实根。求出根后,由主函数输出。
 
牛顿迭代法的公式是:

f

(

x

0

)

f

(

x

0

)

-frac{f(x_0 )}{f'(x_0)}

f(x0)f(x0) ,设迭代到

x

x

0

1

0

5

|x-x_0|leq10^{-5}

xx0105 时结束。
在这里插入图片描述

2. 题目分析

牛顿迭代法是取

x

0

x_0

x0 之后,在这个基础上,找到比

x

0

x_0

x0 更接近的方程的根,一步一步迭代,从而找到更接近方程根的近似根。
 

r

r

r

f

(

x

)

=

0

f(x)=0

f(x)=0 的根,选取

x

0

x_0

x0 作为

r

r

r 初始近似值。
 
过点

(

x

0

,

f

(

x

0

)

)

(x_0, f(x_0))

(x0,f(x0)) 作为曲线

y

=

f

(

x

)

y=f(x)

y=f(x) 的切线

L

L

L
 

L

L

L 的方程为

y

=

f

(

x

0

)

+

f

(

x

0

)

(

x

x

0

)

y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)

y=f(x0)+f(x0)(xx0)
 
求出 L 与 x 轴交点的横坐标

x

1

=

x

0

f

(

x

0

)

/

f

(

x

0

)

x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0)

x1=x0f(x0)/f(x0),称

x

x

x

r

r

r 的一次近似值,
 
过点

(

x

1

,

f

(

x

1

)

)

(x_1,f(x_1))

(x1,f(x1)) 作为曲线

y

=

f

(

x

)

y=f(x)

y=f(x) 的切线,并求该切线与 x 轴的横坐标

x

2

=

x

1

f

(

x

1

)

/

f

(

x

1

)

x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1)

x2=x1f(x1)/f(x1),称

x

2

x_2

x2

r

r

r 的二次近似值,
 
重复以上过程,得

r

r

r 的近似值

x

n

x_n

xn
 
上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。

3. 算法设计

程序流程分析👇
 
(1) 在

1

1

1 附近找任一实数作为

x

0

x_0

x0 的初值,我们取

1.5

1.5

1.5,即

x

0

=

1.5

x_0=1.5

x0=1.5
 
(2) 用初值

x

0

x_0

x0 代入方程中计算此时的

f

(

x

0

)

f(x_0)

f(x0)

f

(

x

0

)

f'(x_0)

f(x0);程序中用变量

f

f

f 描述方程的值,用

f

d

fd

fd 描述方程求导之后的值。
 
(3) 计算增量

h

=

f

/

f

d

h=f/fd

h=f/fd
 
(4) 计算下一个

x

:

x

=

x

0

h

x:x=x_0-h

x:x=x0h
 
(5) 用新产生的

x

x

x 替换原来的

x

o

x_o

xo,为下一次迭代做好准备。
 
(6) 若

x

x

0

>

=

1

e

5

|x-x_0|>=1e-5

xx0>=1e5,则转到第 (3) 步继续执行,否则转到步骤 (7)。
 
(7) 所求

x

x

x 就是方程

a

x

3

+

b

x

2

+

c

x

+

d

=

0

ax^3+bx^2+cx+d=0

ax3+bx2+cx+d=0 的根,将其输出。
 
本程序的编写既可用 while,也可用 do...while,二者得到的结果是一样的,只是在赋初值时稍有不同。
 
while 结构需要先判定条件,即先判断

x

x

0

>

=

1

e

5

|x-x_0|>=1e-5

xx0>=1e5 是否成立,这样对于

x

x

x

x

0

x_0

x0 我们要在

1

1

1 附近取两个不同的数值作为初值;
 
do...while 结构是先执行一次循环体,得到

x

x

x 的新值后再进行判定,这样程序开始只需给

x

x

x 赋初值。
 
这里我们采用 do...while 结构来实现。

4. 确定程序框架

程序的主体结构如下👇

在这里插入图片描述
由于程序中用到了绝对值函数 fabs() , 所以在程序的开始要加上头文件#include <math.h>

流程图如下所示👇

在这里插入图片描述

5. 迭代法求方程根

编写程序时要注意的一点是判定

x

x

0

>

=

1

e

5

|x-x_0|>=1e-5

xx0>=1e5
 
从牛顿迭代法的原理可以看出:迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值,最初给

x

0

x_0

x0 所赋初值与根的精确值是相差很多了,正是因为这个我们才需要不断地进行迭代,也就是程序中循环体的功能。
 
在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小,直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时,便可结束迭代。
 
若我们把判定条件改为

x

x

0

<

1

e

5

|x-x_0|<1e-5

xx0<1e5,则第一次的判断结果必为假,这样就不能进入循环体再次执行。

定义 solution()函数求方程的根。solution()函数的代码如下👇

在这里插入图片描述

6. 代码实现

完整代码📝

#include <stdio.h>
#include <math.h>

float solution(float a, float b, float c, float d)
{
	float x0, f, fd, h; 
	float x = 1.5;

	do
	{
		x0 = x; 

		f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d;

		fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c;

		h = f / fd;

		x = x0 - h; 

	} while (fabs(x-x0) >= 1e-5);

	return x;
}

int main()
{
	float a, b, c, d; 

	float x; 
	
	printf("请输入方程的系数:");
	
	scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d);
	
	x = solution(a, b, c, d);
	
	printf("n");
	
	printf("所求方程的根为:x=%fn", x);

	return 0;
}

运行结果👇

在这里插入图片描述

代码解释👇

在这里插入图片描述

本图文内容来源于网友网络收集整理提供,作为学习参考使用,版权属于原作者。
THE END
分享
二维码
< <上一篇
下一篇>>