数学建模（学习记录）——层次分析法

admin • 2022-07-06 12:22 • 人工智能

准大二小白暑假准备高教杯，为了督促自己学习数学建模，来记录下学习情况。自己所学课程由清风老师讲解，文章末尾有其公众号及试听课地址。该课程主要讲解了十个模型，并讲解了相应的常用算法。

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数学建模之评价类模型

评价类模型应该是最基础的模型之一了，往往对应着生活中一些很实际的问题。例如：A和B哪位员工的业绩更强、a1,a2,a3三个地方要去哪一个地方旅游......

想要解决评价类问题，首先要想到三个问题：

1.评价的目标是什么？

2.为了达到此目标，有哪几种可选择的方案？

3.评价的准则或者指标是什么（我们根据什么进行评价）？

注意：第三个问题一般题目不会指出，需要自行查找进行补充。

例：

高考完，小明出去旅游，初步选择了苏杭，北戴河，桂林三地之一作为目标景区。

请你确定评价指标，形成评价体系，为小明同学选择最佳方案。

答：

1.为小明选择最佳旅游景点；

2.三种，分别为苏杭、北戴河、桂林；

3.题目无相关数据支撑，需要自己确定。

三个问题已经分析完了，那么如何来对三个地方进行评价呢？

一个较好方法就是对三个地点分别进行打分。我们可以给予评价指标不同的权重，之后按照每个指标分别给三个地点打分，最后再加权求和，便可以给出三个地点比较合理的得分，作为我们评价的最终结果。之后便选择得分更高的那个景区作为目标景区去旅游。

据此，列出景色、花费、居住、饮食、交通五个常用指标。

	指标权重	苏杭	北戴河	桂林
景色
花费
居住
饮食
交通

考虑到对于不同的评价问题存在不同的指标，其评价准则往往是不一样的，不一定都是以分数都是衡量标准。因此对于某个指标，给不同的方案进行打分时，我们依然以“权重”作为其衡量的标准，其权重之和为1即可。如上表格所示，相同颜色的单元格和为1，指标权重比较好理解，给予指标以不同的权重以加权。打分也是以“权重”来衡量，为了整体更方便计算，这里选择“权重”作为衡量的标准。

我目前接触到的解决评价类模型的方法有两种，分别是层析分析法以及TOPSIS法。其原理各有差别，但是大体上都是差不多的，也就是通过加权求和进行打分，最后选出最高分。区别便是不同的方法里，“分数”的表示不太相同。今天只讲层次分析法。

层次分析法

层次分析法，简称AHP，主要用于解决各种评价类问题。其适用对象往往是，不给出具体指标及指标权重，也不给出每一种方案在指标内部的权重。

如前文所提出的问题：小明想去旅游，有苏杭，北戴河，桂林三个城市可以选择，请确定评价指标，形成评价体系为小明选择最佳方案。

只给三个选择，没有指标和权重，这是层次分析法比较适合的题目类型。

遇到问题首先确定目标，选择旅游目的地，之后看看有哪些方案，再想想评价指标是什么？

对于没有给出评价指标的问题，我们可以结合生活常识，或者他人已经完成的研究来设定评价指标。

但采取生活常识远不如采取科学知识严谨，“科学知识”要比“常识”更经得起进一步观察和实验的检验，更倾向于准备接受别人的修正，具有更明确的适用条件，具有预见性和普遍性，并且显得十分专业。

这时候就要用的文献检索，发挥自己的搜商能力。在搜索相关文献时，建议采取知网、万方、百度学术、谷歌学术等专业网站进行检索。

若无相关文献，可采取小组内头脑风暴或平台上搜索别人或者专家的看法等方法。

对于同一个人来说，同时面对五个指标进行权重排序，由于指标较多，不同的时间点往往有不同的答案，今天我觉得是a，b，c，d，e，明天可能就觉得是e，d，c，b，a了。这就是为什么要用到层次分析法了。既然一次性考虑五个指标容易出现变化，且建模中凭感觉给数字也不太可靠，那我们就用一个比较科学又显得又水平的方法进行权重分配，也就是层次分析法。

层次分析法的思想如下：对于多个指标，我们可以两个两个进行比较评价，根据两两比较的结果来判断权重。为了进行量化，层次分析法使用了九个等级18个数字来比较两个指标之间的重要性（满意度）。

如下图。

如本例题，你询问小明：“小明小明，你觉得对于旅游景点而言，花费和景色哪个更重要？重要程度是多少？”利用重要程度进行量化，如果小明觉得，感觉花费比景色稍稍重要一点点，那花费对景色的标度就是2，景色对花费的标度就是1/2。

如此循环，两两比较，也就是10次询问，可得出相应将相应标度填在相应的表格中，得到一个对应的矩阵。

这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。

小总结：上面这个矩阵是一个5*5的方阵，我们记为A，对应的元素为a ⁱ ʲ。

特点：（1）a ⁱ ʲ表示的意义是：与j相比i的重要程度。

（2）当i=j时，两个指标相等，因此记为1，这也就是为什么主对角线的数值为1。

（3）a ⁱ ʲ>0，且满足a ⁱ ʲ*a ʲ ⁱ=1，我们称此矩阵为正互反矩阵。

可因此得出每个元素的判断矩阵，如：

但这样一来可能会出现一些问题，如得出此类的判断矩阵：

假设苏杭=A，北戴河=B，桂林=C。

根据此表，苏杭比北戴河的景色稍好一点：A>B

苏杭和桂林景色一样好：A=C

北戴河比桂林景色好一点：B>C

可得，矛盾。

特此，引出一个概念，一致矩阵。

一致矩阵

满足以上条件即为一致矩阵。如：

一致矩阵的特点：
各行（各列）成倍数关系。

小总结：

若矩阵中每个元素a ⁱ ʲ>0，且满足a ⁱ ʲ * a ʲ ⁱ=1，则我们称其为正互反矩阵。

在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。

若正互反矩阵满足a ⁱ ʲ * a ʲ ᵏ=a ⁱ ᵏ，则我们称该矩阵为一致矩阵。

注意：在使用判断矩阵求权重之前，应对其进行一致性检验。

如果一个判断矩阵是一致矩阵，那么我们应用层次分析法。因为在层次分析法的框架下，重要程度之间的比较满足理应满足这种关系，如果我们的判断矩阵刚好是一致矩阵，那我们对重要程度的衡量在形式上是十分准确的。但如果我们的判断矩阵最终和一致矩阵不同，那就说明我们在判断的过程中存在一定的偏差。因为我们的预期并不满足上述的乘法关系，我们往往凭感觉而不是数据进行判断。所以对于判断矩阵，我们也需要进行一定的检验，也就是一致性检验。一致性检验用来检测判断矩阵与一致矩阵的偏差度，如果偏差在接受范围内，那么我们可以接受这个判断矩阵作为我们心理预期的量化指标。如果偏差无法接受，那则说明，我们在层次分析法的框架下，对于心理预期的量化是失败的。如果还想运用层次分析法解题，就要重新判断了。

一致性检验：

目标：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别（线代知识）

（引理已跳过，直接上步骤）

一致性检验的步骤

1.计算一致性指标CI

CI = （λmax−n）/（n-1）,λmax:为最大特征值

2.查找对应的平均随机一致性指标RI，直接查表就好了

3.计算一致性比例CR

CR = CI/RI

之后就可以下判断了，如果CR<0.1，则认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行修正，也就是尽量往一致矩阵去调整。

进行了一致性检验之后，我们可以计算各个指标的权重了。

怎么计算权重？

方法一：算术平均法求权重

1.一致矩阵

景色苏杭北戴河桂林

苏杭 1 2 4

北戴河 1/2 1 2

桂林 1/4 1/2 1

苏杭的重要性如果是1，那么北戴河为1/2，桂林为1/4.

注意：权重一定要进行归一化处理.

苏杭=1/(1+0.3+0.25)

北戴河=0.5/(1+0.3+0.25）

桂林+0.25/(1+0.3+0.25）

（判断矩阵为一致矩阵，那么根据每列算出来的权重是一样的，因为对应列，对应行，成比例）

2.判断矩阵

第一步：将判断矩阵按照归一化(每个元素除以所在列的和)

景色苏杭北戴河桂林

苏杭 0.5882 0.5714 0.625

北戴河 0.2941 0.2857 0.25

桂林 0.1177 0.4129 0.125

第二步：将归一化的各列相加(按行求和)

未归一化的权重

苏杭 0.5882+0.5714+0.625=1.7846

北戴河 0.2941+0.28857+0.25=0.8298

桂林 0.1177+0.1429+0.125=0.3856

第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可（n:个数）

苏杭 1.7846/3=0.5949

北戴河 0.829813/3=0.2766

桂林 0.3856/3=0.1285