选题

题目背景

破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。

问题提出

对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1 一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达（见【结果表达格式说明】）。

问题分析

我针对仅纵切的情况，首先将其图像进行数字化处理，并将其二
值化，分别得到图像的左右边缘用于计算边缘匹配度，其次，根据其图像左边距特征确定左边第一碎片，并基于边缘匹配度的贪心策略得到从左至右复原的结果。结果表明，我的方法对于中文情况适用性较好。

文献查找

1. 王昕.基于图像处理的文档碎纸拼接技术研究【Z】.大学教育,2015(08):133-134.
2. 刘威,王军民,刘克勤.基于边缘匹配的纵向碎纸拼接方法【J】.计算机与现代化,2019(02):55-59.
3. 刘铁.基于数字图像的碎纸复原模型与算法——2013年全国大学生数学建模B题碎纸片的拼接复原问题【J】.重庆理工大学学报(自然科学),2015(03):83-88.
4. 刘亚威,王军民,刘威.基于相关矩阵的纵向碎纸拼接方法【J】.计算机与现代化,2019(10):43-47.

	*本文基于文献2进行阐述

建立数学模型

基本假设：

假设 1.附件中所给的碎纸图片无噪声，即不缺少，不增多。

假设 2.碎纸图片可进行图像数字化处理以及二值化处理，可以直接提取图像左右边界特征。

假设 3.附件中的每一张碎纸的大小统一，图片内容清晰可见。

名词解释和符号说明：

方法选取的数学思想：

• 边缘匹配
• 相关度分析
• 贪婪策略

建模过程

1. 用 PIL 包下的 Image 函数读取附件 1 中的碎片图片并统一其大小为 2004 行 68 列，并用矩阵存放。
2. 提取每个图片左右边界的灰度值，并将其二值化，左边界保存在 left中，其大小为 2004 行 20 列，同理，将右边界保存在 right 中，大小与 left 同等。
3. 求匹配度矩阵 n，具体做法为依次求 left 第 i 列 left[: , i]与 right 第 j 列right[: , j] 之间的匹配度，存放在匹配矩阵 n 中，其中 ni,j 表示第 i 张碎片的左边缘与第 j 张碎片的右边缘的匹配度，由于自身无法与自身匹配，所以将其置为 0，即当 i=j时。
4. 求相似度矩阵 S 然后求取纸片之间的相似度，保存为相似度矩阵 S。依次求矩阵 D 中第 i 列 Di(i=1，2，…，19)与剩余 18 列 Dj(j≠i，j=1，2，…，19)的相似度，比较 Di 与 Dj 行元素相同的总行数，即为二者的相似度，结果保存为 Sij
5. 建立顺序列表 label 用于记录排序顺序，以 c 作为首张，寻找匹配度矩阵 n[: , c]中最大匹配值，将其最大匹配值的行为设定为 r，之后求相似度矩阵 S[: , c]中非 0 所有元素的均值 A 与标准偏差 Dk。
   当满足?r,c < ? + 0.5?k时，则表示 r 不符合条件，将 n[r,c]置为 0 防止重复查找，重新查找匹配矩阵 n[:,c]中的最大匹配值；
   当满足?r,c ≥ ? + 0.5Dk时，则表示 r 为 c 的下一碎片序号，将 r 添加至 label 中，并将 n[c, :]与 S[: , c]置为 0，防止重复查找，同时设置 c =r 进行下一轮查找，直到所有碎片都已经进入 label。
6. 利用 numpy.hstack()函数将 label 中序号所对应的图片进行矩阵合并，再通过 Image.fromarray()函数将其转化为图片，达到还原的目的。
   具体流程图如图表所示。

注：流程图来源于文献2

工具选择与应用

• PyCharm
• NumPy
• PIL.Image

代码实现

from PIL import Image

import numpy as np

np.set_printoptions(threshold=np.inf)  # 完整打印，便于调试
imglst = []
def calculate_matching(left,right,rc = 2004):
    r = 0
    for x in range(rc):
        if x == 0:
            if right[x] == left[x] or right[x] == left[x+1]:
                r+=1
        elif x == rc-1:
            if right[x] == left[x] or right[x] == left[x-1]:
                r+=1
        else:

            if right[x] == left[x] or right[x] == left[x-1] or right[x] == left[x+1]:
                r+=1
    else:
        return r

def calculate_Similarity(Di,Dj,rc = 2004):
    count = 0
    for i in range(rc):
        if Di[i] == Dj[i]:
            count +=1
    else:
        return count


def raw_binary(src:str):
    im = Image.open(src)
    im_array = np.array(im)
    r,c = im_array.shape

    for i in range(r):
        flag = False
        for j in range(c):
            if im_array[i,j] != 255:
                flag = True
                break
        if flag:
            im_array[i,:] = 1
        else:
            im_array[i,:] = 0
    return im_array

def maxMatching(matrix):
    r, = np.unravel_index(np.argmax(matrix),matrix.shape)#返回最大值下标

    return r
#计算均值与标准偏差
def cal_AandDk(matrix):
    lst = []
    for item in matrix:
        if item != 0:
            lst.append(item)
    else:
        matrix = np.array(lst)
    l = len(matrix)
    A = np.sum(matrix)/l
    Dk = (sum(map(lambda  e:(e-A)*(e-A),matrix))/l) **0.5
    return A,Dk


'''
读取图片
'''
def readImg(src: str,height=2004,width=68):
    im = Image.open(src).resize((width,height),Image.ANTIALIAS)

    imglst.append(np.array(im))
    return np.where(np.array(im) == 255, 0, 1)



def reducateImg(label:list):#图片拼接
    newImg =imglst[label[0]]
    for i in range(1,len(label)):
        newImg = np.hstack((newImg,imglst[label[i]]))
    out = Image.fromarray(newImg)
    out.save(r'C:UsersanonymousDesktop1.png')

def main():
    '''
    question1图片：
        height:2004
        width:68/69
        count:20

    :return:
    '''
    src = 'image1/{}.png'  # 图片路径

    '''
        初始化left与right
    '''
    c = 0  # 拼接顺序
    left = np.zeros((2004, 20), dtype='int8')  # 经过观察，行数为2004
    right = left.copy()
    D = left.copy()
    for i in range(1, 21):
        if i < 10:
            image = readImg(src.format('0' + str(i)))
            raw_binary_img = raw_binary(src.format('0'+str(i)))

        else:
            image = readImg(src.format(i))
            raw_binary_img = raw_binary(src.format(i))

        left[:, i - 1] = image[:, 0]
        right[:, i - 1] = image[:, -1]
        D[:,i-1] = raw_binary_img[:,0]

    margin_index = list(np.any(left, axis=0)).index(False)
    c = margin_index

    n = np.zeros((20,20),dtype=int)
    S = n.copy()
    #计算匹配度与相似度
    for i in range(20):
        for j in range(20):
            if i == j:
                n[i][j] = 0
                S[i][j] = 0
            else:
                n[i][j] = calculate_matching(left[:,i],right[:,j])
                S[i][j] = calculate_Similarity(D[:,i],D[:,j])


    A = 0#均值
    Dk = 0#标准偏差
    label = [0]# 20张碎片
    while True:
        label[-1] = c
        r = maxMatching(matrix=n[:, c])
        A,Dk = cal_AandDk(S[:,c])
        if S[r,c]<A+0.5*Dk:

            n[r,c] =0
            r = 0
        else:
            label.append(r)
            n[c,:] = 0
            S[:,c] = 0
            c = r
        if len(label) == 20:
            break

    reducateImg(label)
    print(label)

if __name__ == '__main__':
    main()

结果

附件

• 碎纸附件：

https://pan.baidu.com/s/1FEeCB27SZig3IBV4f23K7w?pwd=1630