自动驾驶算法岗笔试题 | 一道有意思的数学题 | 解析及代码实现

admin • 2022-09-26 18:50 • 人工智能

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参考资料
1. 题目描述
2. 问题分析

参考资料

https://max.book118.com/html/2018/1105/8117074134001131.shtm
《一道运动学赛题的巧解及延伸》
https://zhuanlan.zhihu.com/p/364295457

这两天参加了深圳一家企业的线下笔试，这个公司出了一道挺有意思的数学题，但是当时走马观花地看了下题目就直接写了，写完发现理解错了，不过又不想修改，所以直接交卷走人了。但是想想这道题还是挺有意思的，所以凭借着记忆尽量把这道题还原出来。

1. 题目描述

3辆飞船A、B、C初始位置分别处于一个边长为

$L$ 的等边三角形的顶点上，即A点坐标为

(

)

(frac{sqrt{3}}{2}L,0)

$(\frac{3}{2}$

L,0)，B点坐标为

(

)

(frac{L}{2},0)

$(\frac{L}{2}, 0)$ ，C点坐标为

(

−

)

(-frac{L}{2},0)

$(- \frac{L}{2}, 0)$ 。飞船飞行过程中，飞船均具有相等的速度

$v$ ，并且A始终朝着B前进，B始终朝着C前进，C始终朝着A前进。

问题1：从初始到 $t_1 t1时刻，飞船A,B,C的运行轨迹（假设采样时间为 Δ t Delta t Δt）。$
问题2：到无穷远时刻时，飞船A,B,C最终的状态是怎样的？如果三者速度不相等，那么此时飞船A,B,C最终的状态又是怎样的？请推到分析。

2. 问题分析

1. 问题 1

对于问题1，当时错误理解成A、B、C在一开始的等边三角形的边上运动了，所以三下五除二就写出来了，很快啊（真的笑哭）。。

分析

由题意可知，三辆飞船因为速度相等，所以每时每刻飞船之间的距离都是相等的，即每时每刻都构成一个等边三角形，大致如图所示，他们依据某种螺旋曲线靠近。

我们从飞船A开始推导，其他两只飞船同理。假设

$t$ 时刻飞船A的坐标为

(

)

P_A(t)

$P_{A} (t)$ ，那么根据向量的关系，很容易得到下一时刻飞船A的位置为

(

)

(

)

(

)

(1)

tag{1} P_A(t+1)=P_A(t)+n_{AB}(t)vDelta t

$P_{A} (t + 1) = P_{A} (t) + n_{A B} (t) v Δ t (1)$

(

)

n_{AB}(t)

$n_{A B} (t)$ 为

$t$ 时刻，飞船

$A$ 指向飞船

$B$ 的单位向量，它等于

(

)

(

)

−

(

)

∣

(

)

−

(

)

∣

(2)

tag{2} n_{AB}(t)=frac{P_B(t)-P_A(t)}{||P_B(t)-P_A(t)||}

$n_{A B} (t) = \frac{P _{B} ( t ) - P _{A} ( t )}{∣∣ P _{B} ( t ) - P _{A} ( t ) ∣∣} (2)$
将等式(2)带入等式(1)，可得飞船A飞行的实时轨迹为

(

)

(

)

(

)

−

(

)

∣

(

)

−

(

)

∣

(3)

tag{3} P_A(t+1)=P_A(t)+frac{P_B(t)-P_A(t)}{||P_B(t)-P_A(t)||}vDelta t

$P_{A} (t + 1) = P_{A} (t) + \frac{P _{B} ( t ) - P _{A} ( t )}{∣∣ P _{B} ( t ) - P _{A} ( t ) ∣∣} v Δ t (3)$
同理，B、C飞船的轨迹为

(

)

(

)

(

)

−

(

)

∣

(

)

−

(

)

∣

(4)

tag{4} P_B(t+1)=P_B(t)+frac{P_C(t)-P_B(t)}{||P_C(t)-P_B(t)||}vDelta t

$P_{B} (t + 1) = P_{B} (t) + \frac{P _{C} ( t ) - P _{B} ( t )}{∣∣ P _{C} ( t ) - P _{B} ( t ) ∣∣} v Δ t (4)$

(

)

(

)

(

)

−

(

)

∣

(

)

−

(

)

∣

(5)

tag{5} P_C(t+1)=P_C(t)+frac{P_A(t)-P_C(t)}{||P_A(t)-P_C(t)||}vDelta t

$P_{C} (t + 1) = P_{C} (t) + \frac{P _{A} ( t ) - P _{C} ( t )}{∣∣ P _{A} ( t ) - P _{C} ( t ) ∣∣} v Δ t (5)$

根据等式(3-5)，通过不停地迭代，即可求出从0时刻到

t_1

$t_{1}$ 时刻的完整轨迹。

python代码实现

为了更好地画图展示效果，这边使用python编程。代码仓库见于github链接。

导入相关库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from celluloid import Camera  # 保存动图时用，pip install celluloid

%matplotlib qt5

参数设置

# 采样时间
dt=0.01
# 原等边三角形长度
L=1
# 初始坐标点
p_a = np.array([0,np.sqrt(3)/2*L])
p_b = np.array([1/2*L,0])
p_c = np.array([-1/2*L,0])
# 速度
v_a = 1.0
v_b = 1.0
v_c = 1.0



p_center=np.array([0,1/np.sqrt(3)/2]) # 等边三角形中心

# 存储轨迹
trajectory_a=[]
trajectory_b=[]
trajectory_c=[]

# 假设到t时刻停止
t = 1

迭代公式

def trajectory_point(p_1,p_2,v):
n_ = (p_2-p_1)/np.linalg.norm(p_2-p_1)
p_now = p_1+n_*v*dt
return p_now

求解轨迹

def all_trajectory(p_1,p_2,p_3,v_a,v_b,v_c):
    delta=0
    while(delta<t/dt):
        p__1=trajectory_point(p_1,p_2,v_a)
        p__2=trajectory_point(p_2,p_3,v_b)
        p__3=trajectory_point(p_3,p_1,v_c)
        delta+=1
        p_1,p_2,p_3=p__1,p__2,p__3
        trajectory_a.append(p_1)
        trajectory_b.append(p_2)
        trajectory_c.append(p_3)
    return p__1,p__2,p__3


all_trajectory(p_a,p_b,p_c,v_a,v_b,v_c)

trajectory_a=np.array(trajectory_a)
trajectory_b=np.array(trajectory_b)
trajectory_c=np.array(trajectory_c)

画图

fig = plt.figure()
camera = Camera(fig)  # 保存动图用
for i in range(len(trajectory_a)):
    plt.cla()

    plt.plot([p_a[0], p_b[0]], [p_a[1], p_b[1]], '-.r', linewidth=1.0)
    plt.plot([p_b[0], p_c[0]], [p_b[1], p_c[1]], '-.r', linewidth=1.0)
    plt.plot([p_c[0], p_a[0]], [p_c[1], p_a[1]], '-.r', linewidth=1.0)
    plt.scatter(p_center[0],p_center[1])
    plt.plot(trajectory_a[0:i,0], trajectory_a[0:i,1], '-r',label="A")
    plt.plot(trajectory_b[0:i,0],trajectory_b[0:i,1],'-g',label="B")
    plt.plot(trajectory_c[0:i,0], trajectory_c[0:i,1], '-b',label="C")
    plt.legend()
    plt.xlabel('x/m')
    plt.ylabel('y/m')
    plt.axis('square')
    plt.grid(True)
    plt.pause(0.001)
    # camera.snap()


# animation = camera.animate()
# animation.save('trajectory.gif')

plt.show()

运行轨迹如图所示：

2. 问题 2-1

其实我们可以很容易猜到，三辆飞船在速度相等的情况下，一定会在经过一段时间后三艘飞船相遇在原等边三角形的中心处，因为他们是高度对称的。那么是在什么时候相遇呢，可以看下面推导。

解法 1

根据题意，由于三个飞船都作等速率曲线运动, 而任一时刻三艘飞船的位置都在正三角形的三个顶点上, 但这三角形的边长不断缩小, 如图所示。

现把从开始到追上的时间

$t$ 分成

$n$ 个相等的时间间隔

Delta t

$Δ t$ , 在每个微小的时间间隔内, 每艘飞船的运动都可看成是直线运动. 经

⋯

Delta t, 2 Delta t, 3 Delta t, cdots cdots n Delta t

$Δ t, 2Δ t, 3Δ t, \dots\dots n Δ t$ , 对应的三角形边长依次为

⋯

L_1, L_2, L_3 cdots cdots L_n

$L_{1}, L_{2}, L_{3} \dots\dots L_{n}$ 。当

→

L_n rightarrow 0

$L_{n} \to 0$ 时三艘飞船相聚。

A_1 B_1

$A_{1} B_{1}$ 与

′

A_1 B_1^{prime}

$A_{1} B_{1'}$ ，差为二阶小量，所以

≈

′

−

cos

⁡

∘

−

L_1=A_1 B_1approx A_1 B_1^{prime}=L-A A_1-B B_1 cos 60^{circ}=L-frac{3}{2} v Delta t

$L_{1} = A_{1} B_{1} \approx A_{1} B_{1'} = L - A A_{1} - B B_{1} cos 6 0^{\circ} = L - \frac{3}{2} v Δ t$

同理

−

⋯

−

L_2=L_1-frac{3}{2} v Delta t=L-2 frac{3}{2} v Delta t,\ \ \ L_3=L_2-frac{3}{2} v Delta t=L-3 frac{3}{2} v Delta t, \ \ cdots cdots L_n=L-n frac{3}{2} v Delta t

$L_{2} = L_{1} - \frac{3}{2} v Δ t = L - 2 \frac{3}{2} v Δ t, L_{3} = L_{2} - \frac{3}{2} v Δ t = L - 3 \frac{3}{2} v Δ t, \dots\dots L_{n} = L - n \frac{3}{2} v Δ t$

当

→

L_n rightarrow 0

$L_{n} \to 0$ 时三艘飞船相聚, 得

t=n Delta t=frac{2 L}{3 v}

$t = n Δ t = \frac{2 L}{3 v}$ 。每艘飞船走过的路程

s=v t=frac{2 L}{3}

$s = v t = \frac{2 L}{3}$ .

解法2

因三艘飞船都作等速率曲线运动, 而任一时刻三艘飞船的位置都在正三角形的三个顶点上, 即速度沿三角形中心的分速度不变, 指向三角形中心的分速度

′

cos

⁡

∘

v^{prime}=v cos 30^{circ}

$v^{'} = v cos 3 0^{\circ}$
沿三角形中心的位移

′

cos

⁡

s'=frac{L}{2cos 30°}

$s^{'} = \frac{L}{2 cos 30°}$
则时间

′

t=frac{s'}{v'}=frac{2L}{3v}

$t = \frac{s ^{'}}{v ^{'}} = \frac{2 L}{3 v}$
从开始到相遇每艘飞船走过的路程为

s=vt=frac{2L}{3}

$s = v t = \frac{2 L}{3}$

3. 问题 2-2

如果三艘飞船的速度各不相等，那么很显然，最终相遇点不会是原等边三角形的中心。显然相遇点会偏向速度更慢的飞船。

例如，

v_A>v_B>v_C

$v_{A} > v_{B} > v_{C}$ ，大致的运行轨迹如下所示：

本图文内容来源于网友网络收集整理提供，作为学习参考使用，版权属于原作者。

THE END

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