1. 过程推导 - 了解BP原理

2.数值计算 - 手动计算，掌握细节

3.代码实现 - numpy手推 + pytorch自动

3.1 对比【numpy】和【pytorch】程序，总结并陈述。

numpy程序：

import numpy as np

w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = 0.2, -0.4, 0.5, 0.6, 0.1, -0.5, -0.3, 0.8
x1, x2 = 0.5, 0.3
y1, y2 = 0.23, -0.07
print("输入值 x0, x1:", x1, x2)
print("输出值 y0, y1:", y1, y2)


def sigmoid(z):
    a = 1 / (1 + np.exp(-z))
    return a


def forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):
    in_h1 = w1 * x1 + w3 * x2
    out_h1 = sigmoid(in_h1)
    in_h2 = w2 * x1 + w4 * x2
    out_h2 = sigmoid(in_h2)

    in_o1 = w5 * out_h1 + w7 * out_h2
    out_o1 = sigmoid(in_o1)
    in_o2 = w6 * out_h1 + w8 * out_h2
    out_o2 = sigmoid(in_o2)

    print("正向计算，隐藏层h1 ,h2：", end="")
    print(round(out_h1, 5), round(out_h2, 5))
    print("正向计算，预测值o1 ,o2：", end="")
    print(round(out_o1, 5), round(out_o2, 5))

    error = (1 / 2) * (out_o1 - y1) ** 2 + (1 / 2) * (out_o2 - y2) ** 2

    print("损失函数(均方误差)：",round(error, 5))

    return out_o1, out_o2, out_h1, out_h2


def back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2):
    # 反向传播
    d_o1 = out_o1 - y1
    d_o2 = out_o2 - y2

    d_w5 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h1
    d_w7 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h2
    d_w6 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h1
    d_w8 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h2

    d_w1 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w5 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x1
    d_w3 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w5 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x2
    d_w2 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w7 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x1
    d_w4 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w7 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x2

    print("w的梯度:",round(d_w1, 2), round(d_w2, 2), round(d_w3, 2), round(d_w4, 2), round(d_w5, 2), round(d_w6, 2),
          round(d_w7, 2), round(d_w8, 2))

    return d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8


def update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):
    # 步长
    step = 1
    w1 = w1 - step * d_w1
    w2 = w2 - step * d_w2
    w3 = w3 - step * d_w3
    w4 = w4 - step * d_w4
    w5 = w5 - step * d_w5
    w6 = w6 - step * d_w6
    w7 = w7 - step * d_w7
    w8 = w8 - step * d_w8
    return w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8


if __name__ == "__main__":

    print("权值w0-w7:",round(w1, 2), round(w2, 2), round(w3, 2), round(w4, 2), round(w5, 2), round(w6, 2), round(w7, 2),
          round(w8, 2))


    for i in range(5):
        print("=====第" + str(i+1) + "轮=====")
        out_o1, out_o2, out_h1, out_h2 = forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)
        d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8 = back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2)
        w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)

    print("更新后的权值w:",round(w1, 2), round(w2, 2), round(w3, 2), round(w4, 2), round(w5, 2), round(w6, 2), round(w7, 2),
          round(w8, 2))

结果：

python程序：

import torch

x = [0.5, 0.3]  # x0, x1 = 0.5, 0.3
y = [0.23, -0.07]  # y0, y1 = 0.23, -0.07
print("输入值 x0, x1:", x[0], x[1])
print("输出值 y0, y1:", y[0], y[1])
w = [torch.Tensor([0.2]), torch.Tensor([-0.4]), torch.Tensor([0.5]), torch.Tensor(
    [0.6]), torch.Tensor([0.1]), torch.Tensor([-0.5]), torch.Tensor([-0.3]), torch.Tensor([0.8])]  # 权重初始值
for i in range(0, 8):
    w[i].requires_grad = True
print("权值w0-w7:")
for i in range(0, 8):
    print(w[i].data, end="  ")


def forward_propagate(x):  # 计算图
    in_h1 = w[0] * x[0] + w[2] * x[1]
    out_h1 = torch.sigmoid(in_h1)
    in_h2 = w[1] * x[0] + w[3] * x[1]
    out_h2 = torch.sigmoid(in_h2)

    in_o1 = w[4] * out_h1 + w[6] * out_h2
    out_o1 = torch.sigmoid(in_o1)
    in_o2 = w[5] * out_h1 + w[7] * out_h2
    out_o2 = torch.sigmoid(in_o2)

    print("正向计算，隐藏层h1 ,h2：", end="")
    print(out_h1.data, out_h2.data)
    print("正向计算，预测值o1 ,o2：", end="")
    print(out_o1.data, out_o2.data)

    return out_o1, out_o2


def loss(x, y):  # 损失函数
    y_pre = forward_propagate(x)  # 前向传播
    loss_mse = (1 / 2) * (y_pre[0] - y[0]) ** 2 + (1 / 2) * (y_pre[1] - y[1]) ** 2  # 考虑 ： t.nn.MSELoss()
    print("损失函数(均方误差)：", loss_mse.item())
    return loss_mse


if __name__ == "__main__":
    for k in range(5):
        print("n=====第" + str(k+1) + "轮=====")
        l = loss(x, y)  # 前向传播，求 Loss，构建计算图
        l.backward()  # 反向传播，求出计算图中所有梯度存入w中. 自动求梯度，不需要人工编程实现。
        print("w的梯度: ", end="  ")
        for i in range(0, 8):
            print(round(w[i].grad.item(), 2), end="  ")  # 查看梯度
        step = 1  # 步长
        for i in range(0, 8):
            w[i].data = w[i].data - step * w[i].grad.data  # 更新权值
            w[i].grad.data.zero_()  # 注意：将w中所有梯度清零
        print("n更新后的权值w:")
        for i in range(0, 8):
            print(w[i].data, end="  ")

结果：


总结：在pytorch中有已经定义好的神经网络训练函数，torch库中可以调用backward()直接得到与函数相关的参数的梯度，进而进行梯度下降计算。不仅代码写的简单，也保证了正确性。
通过观察结果发现都十分相近，因此可认为两种方法的求解效果基本相同，可认为两种方法的求解效果基本相同。

3.2 激活函数Sigmoid用PyTorch自带函数torch.sigmoid()，观察、总结并陈述。

sigmoid函数表达式

f

(

x

)

=

1

1

+

e

−

x

f(x)=frac{1}{1+e^{-x}}

f(x)=1+e−x1​

Sigmoid函数的导数是其本身的函数，即f′(x)=f(x)[1−f(x)]，因此Sigmoid函数在反向传播的求导中起到了重要作用。

def forward_propagate(x1, x2):
    in_h1 = w1 * x1 + w3 * x2
    out_h1 = torch.sigmoid(in_h1)
    in_h2 = w2 * x1 + w4 * x2
    out_h2 = torch.sigmoid(in_h2)
    in_o1 = w5 * out_h1 + w7 * out_h2
    out_o1 = torch.sigmoid(in_o1)
    in_o2 = w6 * out_h1 + w8 * out_h2
    out_o2 = torch.sigmoid(in_o2)
 
    print("正向计算：o1 ,o2")
    print(out_o1.data, out_o2.data)
 
    return out_o1, out_o2

没有较为明显的差距。

3.3 激活函数Sigmoid改变为Relu，观察、总结并陈述。

Relu函数的数学形式是:

f

(

x

)

=

{

x

x

>

0

0

x

<

=

0

f(x)=begin{cases} x & text{ } x>0 \ 0 & text{ } x<=0 end{cases}

f(x)={x0​ x>0 x<=0​

Relu函数其实就是分段的线性函数，作用是把所有的负值都变为0，而正值保持不变。

def Relu(z):
    if z<=0:
        b = 0
    return b
 
 
def forward_propagate(x1, x2):
    in_h1 = w1 * x1 + w3 * x2
    out_h1 = Relu(in_h1)
    in_h2 = w2 * x1 + w4 * x2
    out_h2 = Relu(in_h2)
    in_o1 = w5 * out_h1 + w7 * out_h2
    out_o1 = Relu(in_o1)
    in_o2 = w6 * out_h1 + w8 * out_h2
    out_o2 = Relu(in_o2)
 
    print("正向计算：o1 ,o2")
    print(out_o1.data, out_o2.data)
 
    return out_o1, out_o2

Relu激活函数收敛速度要优于使用sigmoid激活函数。

3.4 损失函数MSE用PyTorch自带函数 t.nn.MSELoss()替代，观察、总结并陈述。

def loss_fuction(x1, x2, y1, y2):  # 损失函数
    y1_pred, y2_pred = forward_propagate(x1, x2)  # 前向传播
    # loss = (1 / 2) * (y1_pred - y1) ** 2 + (1 / 2) * (y2_pred - y2) ** 2  # 考虑 ： t.nn.MSELoss()
    loss_func = torch.nn.MSELoss() # 创建损失函数
    y_pred = torch.cat((y1_pred, y2_pred), dim=0) # 将y1_pred, y2_pred合并成一个向量
    y = torch.cat((y1, y2), dim=0) # 将y1, y2合并成一个向量
    loss = loss_func(y_pred, y) # 计算损失
    print("损失函数（均方误差）：", loss.item())
    return loss

训练次数为50：

MSELoss是均方误差，是预测值与真实值之差的平方和的平均值。结果基本相同。

3.5 损失函数MSE改变为交叉熵，观察、总结并陈述。

衡量两个分布之间的相似性。X代表样本集合，p(x)表示真实，q(x)表示预测：

信息熵在这里就是一个常量。由于KL散度的值表示真实概率分布与预测概率分布之间的差异，值越小表示预测的结果越好，所以需要最小化KL散度，而交叉熵等于KL散度加上一个常量（信息熵），且公式相比KL散度更加容易计算，所以在机器学习中常常使用交叉熵损失函数来计算loss。

def loss_fuction(x1, x2, y1, y2):
    y1_pred, y2_pred = forward_propagate(x1, x2)
    loss_func = torch.nn.CrossEntropyLoss() # 创建交叉熵损失函数
    y_pred = torch.stack([y1_pred, y2_pred], dim=1)
    y = torch.stack([y1, y2], dim=1)
    loss = loss_func(y_pred, y) # 计算
    print("损失函数（交叉熵损失）：", loss.item())
    return loss

训练次数为49：

改为交叉熵之后损失函数出现负数。

3.6 改变步长，训练次数，观察、总结并陈述。

步长为1，训练次数为5：

步长为10，训次数为5：

训练次数一定的情况下，步长从1到10，均方误差下降越快，收敛越快。

步长为10，训练次数为20：

步长为10，训练次数为50：

步长一定的情况下，随着训练次数从10到50，均方误差下降速度也在逐渐降低，收敛速度也就下降了。

3.7 权值w1-w8初始值换为随机数，对比“指定权值”的结果，观察、总结并陈述。

初始化权重：

w = [torch.randn(1, 1), torch.randn(1, 1), torch.randn(1, 1), torch.randn(1, 1), torch.randn(1, 1), torch.randn(1, 1), torch.randn(1, 1), torch.randn(1, 1) ]
 # 权重初始值

训练1轮：

训练30轮：

训练50轮：

权重的初始化不会影响收敛的结果，均方误差的下降速度与指定权值时相比有所降低，收敛速度小于指定权值。

3.8 权值w1-w8初始值换为0，观察、总结并陈述。

训练1轮：

训练30轮：

训练50轮：

权重初始值只影响收敛速度，并不会影响收敛结果。

3.9 全面总结反向传播原理和编码实现，认真写心得体会。

首先再次拾起来了反向传播的计算流程，自己手推一遍真的想起来了以前的回忆！通过修改代码中激活函数、损失函数、步长、训练次数、权重的值，运行观察了一下对收敛速度、结果的影响。大部分就是影响了一下收敛的速度，但它们的结果都大致相同。