哈工大2022机器学习实验二：逻辑回归
本实验要求利用逻辑回归（Logistic Regression），对生成的数据进行二分类。首先我们先回顾一下逻辑回归的基本原理：
逻辑回归
逻辑回归，又意译为对率回归（周志华《机器学习》），虽然它的名字中带“回归”，但它是一个分类模型。它的基本思想是直接估计条件概率
P
(
Y
∣
X
)
P(Y|X)
P(Y∣X)的表达式，即给定样本
X
=
x
X=x
X=x（这里
x
x
x是一个
d
d
d维列向量），其属于类别
Y
Y
Y的概率（这里研究的是二分类问题，
Y
Y
Y的取值只有
0
,
1
0,1
0,1，
1
1
1表示正例，
0
0
0表示反例）。利用贝叶斯公式，可以得到给定样本，其为正例的概率
P
(
Y
=
1
∣
X
=
x
)
=
P
(
X
=
x
∣
Y
=
1
)
P
(
Y
=
1
)
P
(
X
=
x
)
=
P
(
X
=
x
∣
Y
=
1
)
P
(
Y
=
1
)
P
(
X
=
x
∣
Y
=
1
)
P
(
Y
=
1
)
+
P
(
X
=
x
∣
Y
=
0
)
P
(
Y
=
0
)
=
1
1
+
P
(
X
=
x
∣
Y
=
0
)
P
(
Y
=
0
)
P
(
X
=
x
∣
Y
=
1
)
P
(
Y
=
1
)
begin{aligned}P(Y=1|X=x)&= frac {P(X=x|Y=1)P(Y=1)}{P(X=x)}\ &=frac{P(X=x|Y=1)P(Y=1)}{P(X=x|Y=1)P(Y=1)+P(X=x|Y=0)P(Y=0)}\ &=frac{1}{1+frac{P(X=x|Y=0)P(Y=0)}{P(X=x|Y=1)P(Y=1)}}\ end{aligned}
P(Y=1∣X=x)=P(X=x)P(X=x∣Y=1)P(Y=1)=P(X=x∣Y=1)P(Y=1)+P(X=x∣Y=0)P(Y=0)P(X=x∣Y=1)P(Y=1)=1+P(X=x∣Y=1)P(Y=1)P(X=x∣Y=0)P(Y=0)1
在这个式子中有两类式子需要我们已知：类别先验
P
(
Y
=
y
)
P(Y=y)
P(Y=y)和条件分布
P
(
X
∣
Y
)
P(X|Y)
P(X∣Y).这也是逻辑回归做出的最基本假设：
（1）类别先验服从伯努利分布
B
(
1
,
p
)
,
B(1,p),
B(1,p),即一个样本有
p
p
p的概率为正例。
（2）类内样本服从正态分布
N
(
μ
,
Σ
)
.
N(mu,Sigma).
N(μ,Σ).具体地说，正例样本服从
N
(
μ
1
,
Σ
1
)
N(mu_1,Sigma_1)
N(μ1,Σ1)；反例样本服从
N
(
μ
0
,
Σ
0
)
N(mu_0,Sigma_0)
N(μ0,Σ0)。特别地，我们要求两类样本的协方差矩阵相同，即
Σ
1
=
Σ
0
=
Σ
.
Sigma_1=Sigma_0=Sigma.
Σ1=Σ0=Σ.之后我们就都用
Σ
Sigma
Σ这一个符号代表协方差矩阵。
（注：
n
n
n维正态分布
N
(
μ
,
Σ
)
N(mu,Sigma)
N(μ,Σ)的概率密度
p
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
/
2
∣
Σ
∣
1
/
2
exp
{
−
1
2
(
x
−
μ
)
T
Σ
−
1
(
x
−
μ
)
}
p(x)=frac{1}{(2pi)^{n/2}|Sigma|^{1/2}}exp{-frac12(x-mu)^TSigma^{-1}(x-mu)}
p(x)=(2π)n/2∣Σ∣1/21exp{−21(x−μ)TΣ−1(x−μ)}）
顺着上面两条假设，我们可以继续推导。我们在这里用正态分布的概率密度来代替概率（这个推导在概率论中不是那么严谨，但概率密度的大小可以一定程度上反映样本分布在该点的概率大小。）
P
(
Y
=
1
∣
X
=
x
)
=
1
1
+
P
(
X
=
x
∣
Y
=
0
)
P
(
Y
=
0
)
P
(
X
=
x
∣
Y
=
1
)
P
(
Y
=
1
)
=
1
1
+
exp
{
−
1
2
(
x
−
μ
0
)
T
Σ
−
1
(
x
−
μ
0
)
}
exp
{
−
1
2
(
x
−
μ
1
)
T
Σ
−
1
(
x
−
μ
1
)
}
⋅
p
1
−
p
=
1
1
+
exp
{
(
μ
0
−
μ
1
)
T
Σ
−
1
x
+
1
2
(
μ
1
T
Σ
−
1
μ
1
−
μ
0
T
Σ
−
1
μ
0
)
}
⋅
p
1
−
p
begin{aligned}P(Y=1|X=x)&=frac{1}{1+frac{P(X=x|Y=0)P(Y=0)}{P(X=x|Y=1)P(Y=1)}}\ &=frac{1}{1+frac{exp{-frac12(x-mu_0)^TSigma^{-1}(x-mu_0)}}{exp{-frac12(x-mu_1)^TSigma^{-1}(x-mu_1)}}cdotfrac{p}{1-p}}\ &=frac{1}{1+exp{(mu_0-mu_1)^TSigma^{-1}x+frac12(mu_1^TSigma^{-1}mu_1-mu_0^{T}Sigma^{-1}mu_0)}cdotfrac{p}{1-p}} end{aligned}
P(Y=1∣X=x)=1+P(X=x∣Y=1)P(Y=1)P(X=x∣Y=0)P(Y=0)1=1+exp{−21(x−μ1)TΣ−1(x−μ1)}exp{−21(x−μ0)TΣ−1(x−μ0)}⋅1−pp1=1+exp{(μ0−μ1)TΣ−1x+21(μ1TΣ−1μ1−μ0TΣ−1μ0)}⋅1−pp1
上式2~3行就是把两个指数相除，把项展开整理了一下。我们把结果中的
p
1
−
p
frac{p}{1-p}
1−pp也改写成指数形式：
p
1
−
p
=
exp
ln
(
p
1
−
p
)
frac{p}{1-p}=exp ln(frac{p}{1-p})
1−pp=expln(1−pp)
再整理一下
P
(
Y
=
1
∣
X
=
x
)
,
P(Y=1|X=x),
P(Y=1∣X=x),得到
P
(
Y
=
1
∣
X
=
x
)
=
1
1
+
exp
{
(
μ
0
−
μ
1
)
T
Σ
−
1
x
+
1
2
(
μ
1
T
Σ
−
1
μ
1
−
μ
0
T
Σ
−
1
μ
0
)
+
ln
p
1
−
p
}
P(Y=1|X=x)=frac{1}{1+exp{(mu_0-mu_1)^TSigma^{-1}x+frac12(mu_1^TSigma^{-1}mu_1-mu_0^{T}Sigma^{-1}mu_0)+lnfrac{p}{1-p}}}
P(Y=1∣X=x)=1+exp{(μ0−μ1)TΣ−1x+21(μ1TΣ−1μ1−μ0TΣ−1μ0)+ln1−pp}1
这时我们设
w
=
(
Σ
−
1
)
T
(
μ
0
−
μ
1
)
=
(
w
1
,
w
2
,
.
.
.
,
w
d
)
T
∈
R
d
×
1
,
b
=
1
2
(
μ
1
T
Σ
−
1
μ
1
−
μ
0
T
Σ
−
1
μ
0
)
+
ln
p
1
−
p
∈
R
,
w=(Sigma^{-1})^T(mu_0-mu_1)=(w_1,w_2,...,w_d)^T in mathbb{R}^{dtimes 1},\ b=frac12(mu_1^TSigma^{-1}mu_1-mu_0^{T}Sigma^{-1}mu_0)+lnfrac{p}{1-p}in mathbb R,
w=(Σ−1)T(μ0−μ1)=(w1,w2,...,wd)T∈Rd×1,b=21(μ1TΣ−1μ1−μ0TΣ−1μ0)+ln1−pp∈R,
就得到了逻辑回归最经典的形式
P
(
Y
=
1
∣
X
=
x
)
=
1
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
.
P(Y=1|X=x)=frac{1}{1+exp(w^Tx+b)}.
P(Y=1∣X=x)=1+exp(wTx+b)1.
很多地方会把正例的条件概率写为
P
(
Y
=
1
∣
X
=
x
)
=
exp
(
w
T
x
+
b
)
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
=
1
1
+
exp
(
−
(
w
T
x
+
b
)
)
,
P(Y=1|X=x)=frac{exp(w^Tx+b)}{1+exp(w^Tx+b)}=frac{1}{1+exp(-(w^Tx+b))},
P(Y=1∣X=x)=1+exp(wTx+b)exp(wTx+b)=1+exp(−(wTx+b))1,
这两种写法实质上表示是等价的，只要把第一个式子上下同乘
exp
(
−
w
T
x
−
b
)
exp(-w^Tx-b)
exp(−wTx−b)，再用
w
′
=
−
w
,
b
′
=
−
b
w'=-w,b'=-b
w′=−w,b′=−b代换即可。为了后面推导的形式简便，我们采用第二种。（即分子上也带
exp
exp
exp的写法，这也是为什么Sigmoid函数
f
(
z
)
=
1
1
+
e
−
z
f(z)=frac{1}{1+e^{-z}}
f(z)=1+e−z1被用在这里）
整理一下我们得到的结论：假设正反两类样本（
d
d
d维）满足：
（1）类别先验服从伯努利分布
B
(
1
,
p
)
,
B(1,p),
B(1,p),即一个样本有
p
p
p的概率为正例；
（2）正例样本服从
N
(
μ
1
,
Σ
)
N(mu_1,Sigma)
N(μ1,Σ)；反例样本服从
N
(
μ
0
,
Σ
)
N(mu_0,Sigma)
N(μ0,Σ)。
那么我们可以得到，给定样本
X
=
x
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
d
)
T
,
X=x=(x_1,x_2,...,x_d)^T,
X=x=(x1,x2,...,xd)T,其属于正反两类的概率形如
P
(
Y
=
1
∣
X
=
x
)
=
exp
(
w
T
x
+
b
)
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
,
P(Y=1|X=x)=frac{exp(w^Tx+b)}{1+exp(w^Tx+b)},
P(Y=1∣X=x)=1+exp(wTx+b)exp(wTx+b),
P
(
Y
=
0
∣
X
=
x
)
=
1
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
.
P(Y=0|X=x)=frac{1}{1+exp(w^Tx+b)}.
P(Y=0∣X=x)=1+exp(wTx+b)1.
容易得到，
P
(
Y
=
1
∣
X
=
x
)
>
P
(
Y
=
0
∣
X
=
x
)
P(Y=1|X=x)>P(Y=0|X=x)
P(Y=1∣X=x)>P(Y=0∣X=x)的条件为
exp
(
w
T
x
+
b
)
>
1
exp(w^Tx+b)>1
exp(wTx+b)>1即
w
T
x
+
b
>
0.
w^Tx+b>0.
wTx+b>0.因此我们的分界面是线性的，即
w
T
x
+
b
=
0.
w^Tx+b=0.
wTx+b=0.
因此，逻辑回归的任务就是在数据集
X
,
Y
X,Y
X,Y（
Y
Y
Y为每个样本对应的类别）上学习参数
w
w
w和
b
b
b，使其得到的概率与数据集最吻合。为了进行学习，我们采用最大似然估计：
w
,
b
=
arg max
w
,
b
∏
i
=
1
N
P
(
X
=
x
i
,
Y
=
y
i
)
=
arg max
w
,
b
∏
i
=
1
N
P
(
Y
=
y
i
∣
X
=
x
i
)
P
(
X
=
x
i
)
begin{aligned} w,b&=argmax_{w,b}prodlimits_{i=1}^{N}P(X=x_i,Y=y_i)\ &=argmax_{w,b}prodlimits_{i=1}^{N}P(Y=y_i|X=x_i)P(X=x_i) end{aligned}
w,b=w,bargmaxi=1∏NP(X=xi,Y=yi)=w,bargmaxi=1∏NP(Y=yi∣X=xi)P(X=xi)
由于
P
(
X
=
x
i
)
P(X=x_i)
P(X=xi)与参数形式无关，可以去掉，即
w
,
b
=
arg max
w
,
b
∏
i
=
1
N
P
(
Y
=
y
i
∣
X
=
x
i
)
w,b=argmax_{w,b}prodlimits_{i=1}^{N}P(Y=y_i|X=x_i)
w,b=w,bargmaxi=1∏NP(Y=yi∣X=xi)
为了推导形式简洁，我们把
P
(
Y
=
y
i
∣
X
=
x
i
)
P(Y=y_i|X=x_i)
P(Y=yi∣X=xi)记为
P
(
Y
=
y
i
∣
X
=
x
i
)
=
y
i
P
(
Y
=
1
∣
X
=
x
i
)
+
(
1
−
y
i
)
P
(
Y
=
0
∣
X
=
x
i
)
=
y
i
exp
(
w
T
x
+
b
)
+
1
−
y
i
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
begin{aligned} P(Y=y_i|X=x_i)&=y_iP(Y=1|X=x_i)+(1-y_i)P(Y=0|X=x_i)\ &=frac{y_iexp(w^Tx+b)+1-y_i}{1+exp(w^Tx+b)} end{aligned}
P(Y=yi∣X=xi)=yiP(Y=1∣X=xi)+(1−yi)P(Y=0∣X=xi)=1+exp(wTx+b)yiexp(wTx+b)+1−yi
很容易验证，这个式子与我们得到的结论等价（
y
i
=
1
y_i=1
yi=1时，后一项不起作用；
y
i
=
0
y_i=0
yi=0时，前一项不起作用）。继续推导，得
w
,
b
=
arg max
w
,
b
∏
i
=
1
N
y
i
exp
(
w
T
x
+
b
)
+
1
−
y
i
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
=
arg max
w
,
b
∑
i
=
1
N
ln
y
i
exp
(
w
T
x
+
b
)
+
1
−
y
i
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
(
取对数不改变最值点
)
=
arg max
w
,
b
∑
i
=
1
N
[
ln
(
y
i
exp
(
w
T
x
+
b
)
+
1
−
y
i
)
−
ln
(
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
)
]
=
arg max
w
,
b
∑
i
=
1
N
[
y
i
(
w
T
x
+
b
)
−
ln
(
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
)
]
(
观察第一项与上一项等价，分
y
i
=
0
,
1
讨论
)
=
arg min
w
,
b
∑
i
=
1
N
[
−
y
i
(
w
T
x
+
b
)
+
l
n
(
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
)
]
(
取相反数
,
变为
arg min
)
.
begin{aligned}w,b&=argmax_{w,b}prodlimits_{i=1}^{N}frac{y_iexp(w^Tx+b)+1-y_i}{1+exp(w^Tx+b)}\ &=argmax_{w,b}sumlimits_{i=1}^Nlnfrac{y_iexp(w^Tx+b)+1-y_i}{1+exp(w^Tx+b)}(取对数不改变最值点)\ &=argmax_{w,b}sumlimits_{i=1}^N[ln(y_iexp(w^Tx+b)+1-y_i)-ln(1+exp(w^Tx+b))]\ &=argmax_{w,b}sumlimits_{i=1}^N[y_i(w^Tx+b)-ln(1+exp(w^Tx+b))](观察第一项与上一项等价，分y_i=0,1讨论)\ &=argmin_{w,b}sumlimits_{i=1}^N[-y_i(w^Tx+b)+ln(1+exp(w^Tx+b))](取相反数,变为argmin). end{aligned}
w,b=w,bargmaxi=1∏N1+exp(wTx+b)yiexp(wTx+b)+1−yi=w,bargmaxi=1∑Nln1+exp(wTx+b)yiexp(wTx+b)+1−yi(取对数不改变最值点)=w,bargmaxi=1∑N[ln(yiexp(wTx+b)+1−yi)−ln(1+exp(wTx+b))]=w,bargmaxi=1∑N[yi(wTx+b)−ln(1+exp(wTx+b))](观察第一项与上一项等价，分yi=0,1讨论)=w,bargmini=1∑N[−yi(wTx+b)+ln(1+exp(wTx+b))](取相反数,变为argmin).
因此，学习
w
,
b
w,b
w,b的任务就变为了最小化关于
w
,
b
w,b
w,b的损失函数(其实就是负对数似然)
l
=
∑
i
=
1
N
[
−
y
i
(
w
T
x
+
b
)
+
l
n
(
1
+
exp
(
w
T
x
+
b
)
)
]
l=sumlimits_{i=1}^N[-y_i(w^Tx+b)+ln(1+exp(w^Tx+b))]
l=i=1∑N[−yi(wTx+b)+ln(1+exp(wTx+b))]
为了让整体形式更简洁，我们重新设
x
=
(
1
,
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
d
)
T
,
β
=
(
b
,
w
1
,
w
2
,
.
.
.
,
w
d
)
T
,
x=(1,x_1,x_2,...,x_d)^T,beta=(b,w_1,w_2,...,w_d)^T,
x=(1,x1,x2,...,xd)T,β=(b,w1,w2,...,wd)T,损失函数变为
l
=
∑
i
=
1
N
[
−
y
i
β
T
x
+
l
n
(
1
+
e
β
T
x
)
]
.
l=sumlimits_{i=1}^N[-y_ibeta^Tx+ln(1+e^{beta^Tx})].
l=i=1∑N[−yiβTx+ln(1+eβTx)].
该优化问题可以用梯度下降法/牛顿迭代法求解，只需求
l
l
l关于
β
beta
β的偏导数，每次迭代减去该梯度
×
times
×学习率:
∂
l
∂
β
=
−
∑
i
=
1
N
x
i
(
y
i
−
exp
(
β
T
x
)
1
+
exp
(
β
T
x
)
)
frac{partial l}{partial beta}=-sumlimits_{i=1}^Nx_i(y_i-frac{exp(beta^Tx)}{1+exp(beta^Tx)})
∂β∂l=−i=1∑Nxi(yi−1+exp(βTx)exp(βTx))
代码部分
下面我们来实现该过程。本次实验仍然采用python numpy库：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
获取数据集
这次我们需要的数据集应当服从正态分布（见前面的讨论）。我们传入两类样本的均值和协方差，同时可以设置前面提到的类别先验
p
p
p(在代码中为pi)，我这里默认设为0.3。此外，为了探究两类样本不满足协方差相同时的结果，我们也留一个可选参数cov2作为反例样本的协方差。
'''
获取二分类问题数据集，两类数据均服从正态分布
- N 数据集大小，默认为100
- pi 正例的比例，默认为0.3
- mean 两类样本的均值，为2 * d 维矩阵，d为正态分布维数
- 例: [[1, 1], [3, 3]]表示正例样本均值为(1, 1), 反例样本为(3, 3)
- cov 协方差矩阵，为d * d维矩阵
- 例: [[1, 0], [0, 1]]
- cov2 用于测试不满足Logistic回归假设(不是朴素贝叶斯假设)时结果。若不传入该参数，两类样本协方差相同；否则cov2代表第二类样本的协方差。
'''
def get_dataset(mean, cov, N = 100, pi = 0.3, cov2 = None):
mean = np.array(mean, dtype = 'float')
cov = np.array(cov, dtype = 'float')
assert mean.shape[0] == 2 and mean.shape[1] == cov.shape[0] and cov.shape[0] == cov.shape[1], '参数不合法!'
positive = int(N *pi)
negative = N - positive
pdata = np.random.multivariate_normal(mean[0], cov, positive)
ndata = np.random.multivariate_normal(mean[1], cov if cov2 is None else cov2, negative)
return np.concatenate([pdata, ndata]), np.concatenate([np.ones(positive), np.zeros(negative)])
代码中np.concatenate用于把正例和反例拼接起来。最后返回的数据应该类似于(data, target),其中data形如
X
=
(
x
11
⋯
x
1
d
x
21
⋯
x
2
d
⋮
⋮
x
N
1
⋯
x
N
d
)
,
X=begin{pmatrix}x_{11} cdots x_{1d}\ x_{21} cdots x_{2d}\ vdots vdots\ x_{N1} cdots x_{Nd} end{pmatrix},
X=⎝
⎛x11 ⋯ x1dx21 ⋯ x2d⋮ ⋮xN1 ⋯ xNd⎠
⎞,
前
N
p
Np
Np行的样本（如
N
=
100
,
p
=
0.3
N=100,p=0.3
N=100,p=0.3,那么就是前
30
%
=
30
30%=30
30%=30行）是正例，其余样本为反例。target形如
Y
=
(
y
1
y
2
⋮
y
N
)
.
Y=begin{pmatrix}y_1\y_2\vdots\y_Nend{pmatrix}.
Y=⎝
⎛y1y2⋮yN⎠
⎞.
其中前
N
p
Np
Np行为
1
1
1，剩余行为
0
0
0.
梯度下降法
梯度下降法与上一篇博客基本类似。
'''
梯度下降法优化损失函数。
- data 数据集
- target 数据的标签，与数据集一一对应
- max_iteration 最大迭代次数，默认为10000
- lr 学习率，默认为0.05
'''
def GD(data, target, max_iteration = 10000, lr = 0.05):
# 判断收敛的阈值
epsilon = 1e-8
# 意义如上文所述
N, d = data.shape
# 意义如上文所述，随机初始化后开始梯度下降
beta = np.random.randn(d + 1)
# 因为我们在前面加了一列1
X = np.concatenate([np.ones((N, 1)), data], axis = 1)
for i in range(max_iteration):
term1 = -np.sum(X * target.reshape(N, 1), axis = 0)
term2 = np.sum((1 / (np.e ** -np.dot(beta, X.T) + 1)).reshape(N, 1) * X, axis = 0)
grad = term1 + term2
if np.linalg.norm(grad) < epsilon:
break
beta -= lr * grad
return beta
代码中的梯度（grad = term1 + term2）看上去非常难以理解，一般我们不会故意这么写，但numpy库中内置的函数往往比for循环快很多，所以我们尽可能用内置函数进行矩阵运算。稍微解释一下：我们之前算出来的梯度为
∂
l
∂
β
=
−
∑
i
=
1
N
x
i
(
y
i
−
exp
(
β
T
x
i
)
1
+
exp
(
β
T
x
i
)
)
.
frac{partial l}{partial beta}=-sumlimits_{i=1}^Nx_i(y_i-frac{exp(beta^Tx_i)}{1+exp(beta^Tx_i)}).
∂β∂l=−i=1∑Nxi(yi−1+exp(βTxi)exp(βTxi)).
我们把式子拆成两项：第一项是
−
∑
i
=
1
N
x
i
y
i
,
-sumlimits_{i=1}^Nx_iy_i,
−i=1∑Nxiyi,其中
x
i
x_i
xi是向量（注意我们补了一列
1
1
1），
y
i
∈
{
0
,
1
}
y_iin{0,1}
yi∈{0,1}；而数据集
X
=
(
x
1
x
2
⋮
x
N
)
,
Y
=
(
y
1
y
2
⋮
y
N
)
.
X=begin{pmatrix}x_1\x_2\vdots\x_Nend{pmatrix},Y=begin{pmatrix}y_1\y_2\vdots\y_Nend{pmatrix}.
X=⎝
⎛x1x2⋮xN⎠
⎞,Y=⎝
⎛y1y2⋮yN⎠
⎞.
利用numpy的*运算将对应行相乘，但在这之前我们需要把
Y
Y
Y变成一个二维数组（利用reshape(N,1)），最后需要对相乘结果按行相加，这在numpy中用np.sum(A, axis=0)表示，这就是代码中term1的来历。
我们再看第二项
∑
i
=
1
N
x
i
exp
(
β
T
x
i
)
1
+
exp
(
β
T
x
i
)
sumlimits_{i=1}^Nx_ifrac{exp(beta^Tx_i)}{1+exp(beta^Tx_i)}
i=1∑Nxi1+exp(βTxi)exp(βTxi)。
（1）首先我们计算
exp
(
β
T
x
)
exp(beta^Tx)
exp(βTx)，可以直接用np.dot表示为np.dot(beta, X.T)；
（2）然后构造
exp
(
β
T
x
i
)
1
+
exp
(
β
T
x
i
)
frac{exp(beta^Tx_i)}{1+exp(beta^Tx_i)}
1+exp(βTxi)exp(βTxi)这一项，为了防止重复运算我们把它变形成
1
1
+
exp
(
−
β
T
x
i
)
frac{1}{1+exp(-beta^Tx_i)}
1+exp(−βTxi)1，代码中对应1 / (np.e ** -np.dot(beta, X.T) + 1)。注意这个结果是一个
N
N
N维向量，每一维对应一个
x
i
x_i
xi的结果。
（3）之后我们只需要故技重施，把第
i
i
i个分量与
x
i
x_i
xi对应相乘并相加即可，对应到代码中即np.sum((1 / (np.e ** -np.dot(beta, X.T) + 1)).reshape(N, 1) * X, axis = 0).
接下来我们写一个主函数验证结果。为了便于可视化，我们采用
2
2
2维变量，当然为了升高维度只需要调整get_dataset的协方差矩阵维数和均值维数即可（注意形状要对上：均值维数为
2
×
d
,
2times d,
2×d,协方差矩阵维数为
d
×
d
dtimes d
d×d）。主函数如下：
if __name__ == '__main__':
mean = [[1, 1], [4, 4]]
cov = np.diag([1, 1])
data, target = get_dataset(mean, cov)
beta = GD(data, target, max_iteration = 100000)
for (x, y), label in zip(data, target):
plt.scatter(x, y, c = 'red' if label else 'black')
x = np.linspace(-1, 4)
'''
由于beta(d=2)形如(beta[0], beta[1], beta[2]),
在二维空间中表示分界面为w^T*x+b=0,当x=(1, x, y)时(这里x, y指横纵坐标)
分界面为beta[0]+beta[1]x+beta[2]y=0,或写成标准一次函数形式
y=(-beta[1]x -beta[0]) / beta[2].
'''
y = (-beta[1] * x - beta[0]) / beta[2]
plt.plot(x, y)
plt.show()
其中一次结果如下：
过拟合&正则项
在训练模型过程中，为了防止模型复杂度过高，就像在最小二乘法中一样，我们也可以加入正则项
λ
∣
∣
w
∣
∣
2
=
λ
w
T
w
lambda||w||^2=lambda w^Tw
λ∣∣w∣∣2=λwTw来约束
w
w
w的模长。修改后的梯度下降法只需要加入正则项的梯度即可：
∂
l
∂
β
=
−
∑
i
=
1
N
x
i
(
y
i
−
exp
(
β
T
x
i
)
1
+
exp
(
β
T
x
i
)
)
+
2
λ
w
.
frac{partial l}{partial beta}=-sumlimits_{i=1}^Nx_i(y_i-frac{exp(beta^Tx_i)}{1+exp(beta^Tx_i)})+2lambda w.
∂β∂l=−i=1∑Nxi(yi−1+exp(βTxi)exp(βTxi))+2λw.
其中的系数
2
2
2可以忽略（可以通过调节
λ
lambda
λ得到同样的效果）。修改后的梯度下降法：
'''
梯度下降法优化损失函数。
- data 数据集
- target 数据的标签，与数据集一一对应
- max_iteration 最大迭代次数，默认为1000
- lr 学习率，默认为0.05
- l 正则项系数，默认不加正则项
'''
def GD(data, target, max_iteration = 10000, lr = 0.05, l = 0):
epsilon = 1e-8
N, d = data.shape
beta = np.random.randn(d + 1)
X = np.concatenate([np.ones((N, 1)), data], axis = 1)
for i in range(max_iteration):
term1 = -np.sum(X * target.reshape(N, 1), axis = 0)
term2 = np.sum((1 / (np.e ** -np.dot(beta, X.T) + 1)).reshape(N, 1) * X, axis = 0)
regularize = l * beta
grad = term1 + term2 + regularize
if np.linalg.norm(grad) < epsilon:
break
beta -= lr * grad
return beta
我们再写两个辅助函数，来检验一下加入正则项后的效果：
# 根据模型beta预测x所属的类, 返回1(正例), 或0(反例)。
def predict(beta, x):
return 1 if np.dot(beta[1:], x) + beta[0] > 0 else 0
# 评估整个数据集上的效果
def evaluate(beta, data, target):
cnt = 0
for x, y in zip(data, target):
if predict(beta, x) == int(y):
cnt += 1
print(f'模型参数: {beta}')
print(f'模型复杂度(模长): {np.linalg.norm(beta)}')
print(f'预测准确率: {cnt / len(target)}')
下面是几次的运行结果：
模型参数: [-0.78524378 -3.34318712 -1.86253962] # 未正则化
模型复杂度(模长): 3.906732871506824
预测准确率: 0.95
模型参数: [-0.52418376 -2.10771474 -1.37132344] # 正则化
模型复杂度(模长): 2.56861013046
预测准确率: 0.95
----------------------------------------------
模型参数: [-0.73382186 -5.31193987 -5.03064085] # 未正则化
模型复杂度(模长): 7.352723791057766
预测准确率: 0.96
模型参数: [-0.5065628 -1.75035625 -2.09991419] # 正则化
模型复杂度(模长): 2.7802863999234253
预测准确率: 0.96
----------------------------------------------
模型参数: [-0.44133903 -3.04645754 -2.45359287] # 未正则化
模型复杂度(模长): 3.936470713612132
预测准确率: 0.95
模型参数: [-0.39689499 -1.91437456 -1.63920354] # 正则化
模型复杂度(模长): 2.5513415720325567
预测准确率: 0.96
可以看到正则化显著地降低了模型复杂度（即参数模长）。我们也可以从另一个场景来理解过拟合，这个场景更类似于上次实验中的最小二乘法。我们通过之前的推导，得到了逻辑回归得到的分界面是一个线性分界面（
w
T
x
+
b
=
0
w^Tx+b=0
wTx+b=0）。那么它只能得到（对于原变量的）线性分界面吗？如果我们拿到了如下的数据：
这个数据是用
y
=
2
x
2
y=2x^2
y=2x2为分界面的。我们能不能用逻辑回归对其进行分类呢？我们如果不做任何处理，得到的分界面形如
a
x
+
b
y
+
c
=
0
ax+by+c=0
ax+by+c=0
这时显然是无法正确分类的。但如果我们主动对数据进行升维，把原来的单个数据
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)变为
(
x
,
y
,
x
2
)
(x,y,x^2)
(x,y,x2)，再应用逻辑回归，得到的分界面当然就形如
a
x
+
b
y
+
c
x
2
+
d
=
0
ax+by+cx^2+d=0
ax+by+cx2+d=0
这说明逻辑回归可以有与二次函数相同的表示能力。我们对这个数据集应用上述思想，得到结果
满足了我们的要求。这部分的额外代码如下：
def get_dataset_quad(N = 100, pi = 0.3):
positive = int(N *pi)
negative = N - positive
data, target = [], []
for i in range(positive):
x = np.random.rand() * 2 - 1
data.append([x, 2 * x * x + np.random.rand() * 2])
target.append(1)
for i in range(negative):
x = np.random.rand() * 2 - 1
data.append([x, 2 * x * x - np.random.rand() * 2])
target.append(0)
return np.array(data), np.array(target)
if __name__ == '__main__':
mean = [[-1, -1], [1, 1]]
cov = np.diag([1, 1])
data, target = get_dataset()
data = np.concatenate([data, (data[:, 0] ** 2).reshape(data.shape[0], 1)], axis = 1)
beta = GD(data, target, lr = 0.01, max_iteration = 100000)
for (x, y, x_2), label in zip(data, target):
plt.scatter(x, y, c = 'red' if label else 'black')
x = np.linspace(-1, 1)
y = (-beta[3] * x * x - beta[1] * x - beta[0]) / beta[2]
plt.plot(x, y)
plt.show()
上面的例子使我们想到，如果我们拿到一组
d
d
d维数据就对它进行升维，比如把
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
d
)
(x_1,x_2,...,x_d)
(x1,x2,...,xd)升维成
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
d
,
x
1
2
,
x
2
2
,
.
.
.
,
x
d
2
)
(x_1,x_2,...,x_d,x_1^2,x_2^2,...,x_d^2)
(x1,x2,...,xd,x12,x22,...,xd2)甚至更高次的函数，那逻辑回归的表示能力不就可以更强大吗？但此时就会遭遇过拟合问题，比如我们对上述的正态分布应用该思想，把
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)升维成
(
x
,
y
,
x
2
)
(x,y,x^2)
(x,y,x2)，得到结果如下：
我们发现，原本的线性分类面被刻画成了二次函数，凭空增加了模型的复杂度，这是不合适的。因此，我们也可以通过加入正则项来“抑制”模型的表示能力，上图中橙色线就是正则项系数
λ
=
2
lambda=2
λ=2时的情况，可以明显地看出它更接近一条直线。得到上图的代码如下：
if __name__ == '__main__':
mean = [[-1, -1], [1, 1]]
cov = np.diag([1, 1])
data, target = get_dataset(mean, cov)
data = np.concatenate([data, (data[:, 0] ** 2).reshape(data.shape[0], 1)], axis = 1)
beta1 = GD(data, target, lr = 0.01, max_iteration = 100000)
beta2 = GD(data, target, lr = 0.01, max_iteration = 100000, l = 2)
for (x, y, x_2), label in zip(data, target):
plt.scatter(x, y, c = 'red' if label else 'black')
x = np.linspace(-3, 3)
y1 = (-beta1[3] * x * x - beta1[1] * x - beta1[0]) / beta1[2]
y2 = (-beta2[3] * x * x - beta2[1] * x - beta2[0]) / beta2[2]
plt.plot(x, y1, label = 'GD')
plt.plot(x, y2, label = 'GD(lambda: 2)')
plt.legend()
plt.show()
最后我们再来讨论一下不满足朴素贝叶斯基本假设的情况。朴素贝叶斯假设各变量相互独立，即
Σ
Sigma
Σ为对角阵的情况。然而我们之前的假设并没有假设变量相互独立，所以违反该假设不应该影响我们模型的分类效果(
Σ
Sigma
Σ应当是对称、半正定的，这是多元正态分布的要求)。我们简单地测试一下：
if __name__ == '__main__':
mean = [[-1, -1], [1, 1]]
cov = [[1.3, 1], [1, 0.8]]
data, target = get_dataset(mean, cov)
beta = GD(data, target, lr = 0.01, max_iteration = 100000)
for (x, y), label in zip(data, target):
plt.scatter(x, y, c = 'red' if label else 'black')
x = np.linspace(-3, 3)
y = (-beta[1] * x - beta[0]) / beta[2]
plt.plot(x, y)
plt.show()
理论上，非对角的协方差矩阵让多个变量有了相关性，这种相关性体现在图像上就是对原来的图像进行了旋转，应当不影响分类问题的结果（我们只需要把分界面对应旋转即可）。