泰勒公式专题 拉格朗日余项与佩亚诺余项,麦克劳林公式

泰勒公式专题 拉格朗日余项与佩亚诺余项,麦克劳林公式


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1. 泰勒公式原理

泰勒公式,也即泰勒展开式。在进行数学计算时,给定一个函数

f

(

x

)

f(x)

f(x),如果该函数满足一定的条件(如n阶可导等),则们可以将其写成多项式的形式,以达到化繁为简,解决问题的目的。



n次多项式的通式如下所示:

        

P

n

=

a

0

+

a

1

x

+

a

2

x

2

+

a

3

x

3

+

.

.

.

+

a

n

x

n

P_n=a_0 + a_1x + a_2 x^2 + a_3x^3 + ... +a_nx^n

Pn=a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn


仿照该通式,给定函数

f

(

x

)

f(x)

f(x),并指定点

x

0

x_{0}

x0, 关于

x

0

x_0

x0可以将已知函数

f

(

x

)

f(x)

f(x)写成多项式

P

n

P_n

Pn的形式如下式所示:

    

P

n

(

x

)

=

f

(

x

0

)

+

f

(

x

0

)

1

!

(

x

x

0

)

+

f

(

x

0

)

2

!

(

x

x

0

)

2

+

P_n(x)=f(x_0) + frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + frac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 +

Pn(x)=f(x0)+1!f(x0)(xx0)+2!f′′(x0)(xx0)2+

         

f

(

x

0

)

3

!

(

x

x

0

)

3

+

.

.

.

+

f

(

n

)

(

x

0

)

n

!

(

x

x

0

)

n

frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + ... +frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

3!f′′′(x0)(xx0)3+...+n!f(n)(x0)(xx0)n

         

=

i

=

0

n

f

(

i

)

(

x

0

)

i

!

(

x

x

0

)

i

=sum_{i=0}^{n}frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i

=i=0ni!f(i)(x0)(xx0)i


         

f

(

x

)

=

p

n

(

x

)

+

R

n

(

x

)

f(x)=p_n(x)+R_n(x)

f(x)=pn(x)+Rn(x)

其中,参照点

x

0

x_0

x0为0的泰勒公式称为麦克劳林公式

此外,式子中的

R

n

(

x

)

R_n(x)

Rn(x) 是使用

P

n

(

x

)

P_n(x)

Pn(x) 近似

f

(

x

)

f(x)

f(x) 的误差,该误差被称为余项
该余项有两种表示方式,一种是拉格朗日余项,一种是佩亚诺余项


2. 具有 拉格朗日余项 的 泰勒公式。

拉格朗日余项可以写作

         

R

n

(

x

)

=

f

(

n

+

1

)

(

ξ

)

(

n

+

1

)

!

(

x

x

0

)

n

+

1

R_n(x)=frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1

此时泰勒定理可以叙述为:

  设

f

(

x

)

f(x)

f(x)在闭区间[a,b]有n阶连续的导数,在开区间(a,b)内有直到n+1阶导数,

x

0

[

a

,

b

]

x_0∈[a,b]

x0[a,b]

x

[

a

,

b

]

x∈[a,b]

x[a,b]是任意两点,则至少存在一点

ξ

xi

ξ介于

x

x

x

x

0

x_0

x0之间,使得

       

f

(

x

)

=

i

=

0

n

f

(

i

)

(

x

0

)

i

!

(

x

x

0

)

i

+

f

(

n

+

1

)

(

ξ

)

(

n

+

1

)

!

(

x

x

0

)

n

+

1

f(x)=sum_{i=0}^{n}frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i +frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

f(x)=i=0ni!f(i)(x0)(xx0)i+(n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1
成立。

由公式可见,拉格朗日余项对误差的存在持肯定态度。在含有拉格朗日余项的泰勒公式中,误差的大小与指定的公式阶数有关,该误差是不可避免的,只能尽可能地减小它。公式的阶数越高(n越大),误差就越小。反之,阶数越低,则误差越大。
这个思想,与机器学习中的梯度下降法有些相似(但不相同),当然泰勒公式在机器学习中的主要应用也是梯度迭代。在很多技术应用时,很多情况下计算达到一定的精度,即可满足我们的需求了,而不追求百分百准确。


具有拉格朗日余项的0阶泰勒公式,即拉格朗日中值公式:

        

f

(

x

)

=

f

(

x

0

)

+

f

(

ξ

)

(

x

x

0

)

f(x)=f(x_0)+f'(xi)(x-x_0)

f(x)=f(x0)+f(ξ)(xx0)


3. 具有 佩亚诺余项 的 泰勒公式

虽然函数经过具有拉格朗日余项的泰勒公式变化后的误差项(余项),无法消除。
但是,在佩亚诺余项将该误差写成了极限的形式。这使得我们在研究极限问题

x

x

0

x→x_0

xx0时,
佩亚诺余项会以一个高阶无穷小的形式参与运算,进而得到精准的结果。


因此在运用泰勒公式求极限的时候,一定要写佩亚诺余项。

佩亚诺余项可写作:

           

R

n

=

o

(

(

x

x

0

)

n

)

R_n=o((x-x_0)^n)

Rn=o((xx0)n)

    其中,佩诺亚余项

R

n

(

x

)

(

x

x

0

)

n

R_n(x)是(x-x_0)^n

Rn(x)(xx0)n的高阶无穷小,即

lim

x

x

0

o

(

(

x

x

0

)

n

)

(

x

x

0

)

n

=

0

limlimits_{x to x_0}frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n}=0

xx0lim(xx0)no((xx0)n)=0

则此时泰勒定理可以叙述为:

f

(

x

)

f(x)

f(x)在闭区间

[

a

,

b

]

[a,b]

[a,b]具有n阶导数(这就意味着f(x)在

x

=

x

0

x=x_0

x=x0的某邻域内应具有

n

1

n-1

n1阶导数,且

f

n

1

(

x

)

f^{n-1}(x)

fn1(x)

x

=

x

0

x=x_0

x=x0处连续),x为

x

0

x_0

x0的充分小的邻域内的一点,则有

       

f

(

x

)

=

i

=

0

n

f

(

i

)

(

x

0

)

i

!

(

x

x

0

)

i

+

o

(

(

x

x

0

)

n

)

f(x)=sum_{i=0}^{n}frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + o((x-x_0)^n)

f(x)=i=0ni!f(i)(x0)(xx0)i+o((xx0)n)


具有佩诺亚余项的1阶泰勒公式,也即微分与增量之间的关系式:

      

f

(

x

)

=

f

(

x

0

)

+

f

(

x

0

)

(

x

x

0

)

+

o

(

(

x

x

0

)

)

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +o((x-x_0))

f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+o((xx0))


4. 麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况。

x

0

=

0

x_0=0

x0=0时的泰勒公式被称为麦克劳林公式。
常用的 含佩亚诺余项 的 麦克劳林公式如下:

   

e

x

=

i

=

0

n

1

i

!

x

i

+

o

(

x

n

)

=

1

+

x

+

1

2

!

x

2

+

1

3

!

x

3

+

.

.

.

+

1

n

!

x

n

+

o

(

x

n

)

e^x=sum_{i=0}^nfrac{1}{i!}x^i+o(x^n)=1 + x + frac{1}{2!}x^2 + frac{1}{3!}x^3 + ... + frac{1}{n!}x^n +o(x^n)

ex=i=0ni!1xi+o(xn)=1+x+2!1x2+3!1x3+...+n!1xn+o(xn)


f

(

x

)

=

sin

x

f(x)=sin x

f(x)=sinx

x

0

=

0

x_0=0

x0=0

其麦克劳林公式第一项为0阶导数项,即未求导项,

s

i

n

(

0

)

=

0

sin(0)=0

sin(0)=0
第二项,第三项,第四项,第五项,依次为:

   一阶导数项:

sin

x

0

=

cos

x

0

sin 'x_0 = cos x_0

sinx0=cosx0,    符号为正
   二阶导数项:

cos

x

0

=

s

i

n

x

0

cos 'x_0=-sin x_0

cosx0=sinx0,    值为0
   三阶导数项:

(

sin

x

0

)

=

cos

x

0

(-sin x_0)'=- cos x_0

(sinx0)=cosx0, 符号为负
   四阶导数项:

(

cos

x

0

)

=

sin

x

0

(- cos x_0)'= sin x_0

(cosx0)=sinx0,  值为0

即对

sin

x

sin x

sinx 每求四阶导数就会循环一次,

故第一项

s

i

n

0

sin 0

sin0(未求导项),第三项(二阶导数项),第五项(四阶导数项),第七项(六阶导数项)…都为零,因此可以忽略掉。
第2,6,10,14…项符号位正,
第4,8,12,16…项符号为负。

所以

s

i

n

x

sinx

sinx的麦克劳林公式可以表示为:

sin

x

=

x

1

3

!

x

3

+

1

5

!

x

5

1

7

x

7

+

1

9

!

x

9

.

.

.

+

(

1

)

n

(

2

n

+

1

)

!

x

2

n

+

1

+

o

(

x

2

n

+

2

)

sin x = x -frac{1}{3!}x^3 +frac{1}{5!}x^5 -frac{1}{7}x^7 + frac{1}{9!}x^9 - ... +frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+2})

sinx=x3!1x3+5!1x571x7+9!1x9...+(2n+1)!(1)nx2n+1+o(x2n+2)

其中,佩亚诺余项这里表示为

o

(

x

2

n

+

2

)

o(x^{2n+2})

o(x2n+2),因为第

x

2

n

+

2

x^{2n+2}

x2n+2项为0。所以这里如果将佩诺亚余项写为

o

(

x

2

n

+

1

)

o(x^{2n+1})

o(x2n+1)也是可以的,不会影响计算的结果。至于具体写成哪一种形式,要根据计算的具体过程而定,选择更有利的写法。

下边给出四组极限计算示例,以供理解选择

o

(

x

2

n

+

1

)

o(x^{2n+1})

o(x2n+1)还是

o

(

x

2

n

+

2

)

o(x^{2n+2})

o(x2n+2)

lim

x

0

x

2

+

o

(

x

2

)

x

2

l

n

2

=

1

ln

2

+

0

=

1

ln

2

limlimits_{x to 0}frac{x^2 + o(x^2)}{x^2ln2}=frac{1}{ln 2}+0=frac{1}{ln 2}

x0limx2ln2x2+o(x2)=ln21+0=ln21

lim

x

0

x

2

+

o

(

x

3

)

x

2

l

n

2

=

1

ln

2

+

o

(

x

3

)

x

x

3

ln

2

=

1

ln

2

+

0

0

=

1

ln

2

limlimits_{x to 0}frac{x^2 + o(x^3)}{x^2ln2}=frac{1}{ln 2}+frac{o(x^3)x}{x^3ln 2}=frac{1}{ln 2}+0·0=frac{1}{ln 2}

x0limx2ln2x2+o(x3)=ln21+x3ln2o(x3)x=ln21+00=ln21

lim

x

0

x

2

+

o

(

x

2

)

x

3

l

n

2

=

0

+

0

limlimits_{x to 0}frac{x^2 + o(x^2)}{x^3ln2}=0+0·infty

x0limx3ln2x2+o(x2)=0+0
   此时出现了

0

0·infty

0,表明选择

o

(

x

2

)

o(x^2)

o(x2)不合适,计算无法继续进行。

lim

x

0

x

2

+

o

(

x

3

)

x

3

l

n

2

=

0

+

0

=

0

limlimits_{x to 0}frac{x^2 + o(x^3)}{x^3ln2}=0+0=0

x0limx3ln2x2+o(x3)=0+0=0   选择

o

(

x

3

)

o(x^3)

o(x3)后,问题随之解决。


常用的含有佩亚诺余项的麦克劳林公式可以汇总为:

e

x

=

i

=

0

n

1

i

!

x

i

+

o

(

x

n

)

=

1

+

x

+

1

2

!

x

2

+

1

3

!

x

3

+

.

.

.

+

1

n

!

x

n

+

o

(

x

n

)

e^x=sum_{i=0}^nfrac{1}{i!}x^i+o(x^n)=1 + x + frac{1}{2!}x^2 + frac{1}{3!}x^3 + ... + frac{1}{n!}x^n +o(x^n)

ex=i=0ni!1xi+o(xn)=1+x+2!1x2+3!1x3+...+n!1xn+o(xn)

sin

x

=

x

1

3

!

x

3

+

1

5

!

x

5

1

7

x

7

+

1

9

!

x

9

.

.

.

+

(

1

)

n

(

2

n

+

1

)

!

x

2

n

+

1

+

o

(

x

2

n

+

2

)

sin x = x -frac{1}{3!}x^3 +frac{1}{5!}x^5 -frac{1}{7}x^7 + frac{1}{9!}x^9 - ... +frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+2})

sinx=x3!1x3+5!1x571x7+9!1x9...+(2n+1)!(1)nx2n+1+o(x2n+2)
 (佩亚诺余项也可以根据需求,写成

o

(

x

2

n

+

1

)

o(x^{2n+1})

o(x2n+1)

cos

x

=

x

1

2

!

x

2

+

1

4

!

x

4

1

6

x

6

+

1

8

!

x

8

.

.

.

+

(

1

)

n

1

(

2

n

)

!

x

2

n

+

o

(

x

2

n

+

1

)

cos x = x -frac{1}{2!}x^2 +frac{1}{4!}x^4 -frac{1}{6}x^6 + frac{1}{8!}x^8 - ... +frac{(-1)^{n-1}}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n+1})

cosx=x2!1x2+4!1x461x6+8!1x8...+(2n)!(1)n1x2n+o(x2n+1)
 (同理,佩亚诺余项也可以根据需求,写成

o

(

x

2

n

)

o(x^{2n})

o(x2n)

ln

(

1

+

x

)

=

x

x

2

2

+

x

3

3

.

.

.

+

(

1

)

n

1

x

n

n

+

o

(

x

n

)

ln(1+x) = x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3}-...+(-1)^{n-1}frac{x^n}{n}+o(x^n)

ln(1+x)=x2x2+3x3...+(1)n1nxn+o(xn)

(

1

+

x

)

m

=

1

+

m

x

+

m

(

m

1

)

2

!

x

2

+

.

.

.

+

m

(

m

1

)

.

.

.

(

m

n

+

1

)

n

!

x

n

+

o

(

x

n

)

(1+x)^m=1+mx + frac{m(m-1)}{2!}x^2+...+frac{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)

(1+x)m=1+mx+2!m(m1)x2+...+n!m(m1)...(mn+1)xn+o(xn)

1

(

1

x

)

=

1

+

x

+

x

2

+

x

3

+

.

.

.

+

x

n

+

o

(

x

n

)

frac{1}{(1-x)}=1+x+x^2+x^3+...+x^n+o(x^n)

(1x)1=1+x+x2+x3+...+xn+o(xn)


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