Hilbert矩阵

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Hilbert矩阵是一个特殊的方阵，它的定义为：

H_{n}=left ( frac{1}{i+j-1} right )_{ntimes n}

其中，n是Hilbert矩阵的阶数，i和j分别为元素所在的行数和列数。如果写开，将会是以下的形式：

 large H_{n}=begin{bmatrix} 1 & frac{1}{2} & frac{1}{3} & cdots & frac{1}{n}\ frac{1}{2} & frac{1}{3} & frac{1}{4} & cdots & frac{1}{n+1}\ frac{1}{3} & frac{1}{4} & frac{1}{5} & cdots & frac{1}{n+2}\ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots\ frac{1}{n} & frac{1}{n+1} & frac{1}{n+2} & cdots & frac{1}{2n-1} end{bmatrix}

Hilbert矩阵有一系列的特点：

（1）是实对称的正规矩阵，也是汉克尔矩阵；

（2）其逆矩阵和行列式精确已知，

         逆矩阵表达式为：

H^{-1}_{n} = left ( frac{(-1)^{i+j} (i+n-1)! (j+n-1)!}{left((i-1)!right)^{2}left((j-1)!right)^{2} (n-i)!(n-j)!(i+j-1)} right )_{ntimes n}

         行列式表达式为：

det H_n =frac{((n-1)!(n-2)!cdots 1!)^3}{(2n-1)!(2n-2)!cdots n!}

（3）病态严重，条件数随阶数增大而急速增大，较小的摄动会对逆矩阵或方程组的解产生明显的影响；

（4）可用hilb(n)的MATLAB命令产生一个Hilbert矩阵，如5阶Hilbert矩阵：

>> hilb(5)

ans =

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000

    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667

    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429

    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429    0.1250

    0.2000    0.1667    0.1429    0.1250    0.1111

（5）可用invhilb(n)求取n阶Hilbert矩阵的逆矩阵；

（6）用Hilbert矩阵作为系数矩阵构造方程组，可用高斯消元法和共轭谐量法求解，前者精确度更高。

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