什么是堆，如何实现？(附堆排序，TOP-K问题)
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前言：
二叉树给大家讲解的差不多了，接下来就是二叉树的实际应用了：这期我们来讲堆，它是一种顺序结构的特殊二叉树，可以实现排序等功能，那就让我们开始吧！
目录
Part1: 何为堆
1.堆的概念
将元素按照完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足对应根结点数值大于两个孩子结点（称为大堆）或者小于两个孩子结点（称为小堆）。
单看概念是不足以理解的，与结构结合理解会更好：
2.堆的结构
还记得上期的 逻辑结构 和 物理结构 吗？
堆的逻辑结构是一颗 完全二叉树
堆的本质呢，是 数组 ，不过对数组中存储的数据顺序有着特殊的要求：
• 大堆：根节点数值大于两个孩子结点的数值；
• 小堆：根节点数值小于两个孩子结点的数值。
上例子：
这是一个大堆
这是一个小堆
到这里，相信你已经知道什么是堆了。
记住堆的性质：
• 堆总是一颗完全二叉树
• 堆中某个结点的数值总是不大于或不小于双亲结点
Part2: 堆的实现
1.前期准备
1.1项目创建
Heap.h：头文件，声明所有函数；
Heap.c：源文件，实现各函数；
Test.c： 源文件，主函数所在项，可调用各函数。
1.2结构定义
堆的本质就是一个数组嘛，
默认整型数组，为方便相关操作的实现，再定义大小size和容量capacity：
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;
int size;
int capacity;
}HP;
1.3堆的初始化
这里选择动态开辟内存，
初始容量为4个整型大小：
//堆的初始化
void HeapInit(HP* php)
{
assert(php);
php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*4);
if (php->a == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
php->capacity = 4;
php->size = 0;
}
2.相关功能实现
注意：我们这里默认实现大堆
2.1堆插入数据
插入数据前，要先判断下有没有满，定义容量和大小的好处就在这里，
直接通过 容量和大小是否相等 就可以，
如果满，默认扩展至先前容量的两倍；
if (php->size == php->capacity)
{
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a,sizeof(HPDataType) * php->capacity*2);
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity *= 2;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;接下来就是对插入的数据进行调整了，
要注意：插入之前就是大堆或小堆（默认大堆），
我们需要做的就是将插在末尾的数据通过比较交换，使其在最合适的位置
这里用到的是 向上调整 ：
第一次做这种动图🤣🤣🤣
如图所示，在数组末尾插入数据后，需要跟双亲结点比较，再决定是否向上调整。
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[parent] < a[child])
{
Swap(&a[parent], &a[child]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
break;
}
}
所以最终代码：
//堆插入数据 向上调整 插入之前就是堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a,sizeof(HPDataType) * php->capacity*2);
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity *= 2;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
2.2堆删除数据
大堆删除数据，是指删除 最大根节点 。
那么怎样才能保证删除第一个数据之后，剩余的结点的双亲结点与孩子结点关系不乱呢？
这里有一个巧妙的办法：
先将第一个结点与最后一个结点 交换 ，再 删除 最后一个结点，最后 向下调整 。
最后仍然保持是一个大堆
代码实现：
//堆删除数据 向下调整
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < n)
{
//先判断child，防止越界，挑出较大的孩子结点
if (child < n + 1 && a[child + 1] < a[child])
{
child++;
}
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
2.3数组建堆
任意给一个数组，可不能保证它就是堆，
所以要利用数组来建堆，也叫用数组初始化堆。
前半部分的空间开辟不必多讲，重点放在建堆（默认建大堆）上：
方法一：向上调整
给一个数组，先从第一个数开始，逐渐扩大区间，每扩大一次就进行一次向上调整；
其实就是 模拟插入数值 罢了。
//建堆（默认建大堆），向上调整
for (int i = 1; i < n; i++)
{
AdjustUp(a, i);
}
方法二：向下调整
这种方法是从倒数第二层数组开始调整，依次向下调整。
//建堆，向下调整
for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
两种方法对比：
这里先告诉大家结论：
向下调整建堆（时间复杂度为：O(N)）要优于向上调整建堆（时间复杂度为：O(N*logN)）
准确计算方式：其实就是每层的结点个数乘以要向下/向上调整的层数，最后求和，比较下即可。
简单理解：
向下调整：结点多的调整次数少，结点少的调整次数多；
向上调整：结点少的调整次数少，结点多的调整次数多；
就这个描述，向下调整更平衡一些，在这种粗略理解下，向下调整优于向上调整。
2.4判断堆是否为空
直接判断大小是否为0即可。
//判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}
2.5获取堆顶元素
返回数组的第一个值即可。
//获取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
assert(php);
return php->a[0];
}
2.6堆的销毁
将数组释放置空，容量和大小归零。
//堆的销毁
void HeapDestroy(HP* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->capacity = 0;
php->size = 0;
}
Part3: 堆的应用
3.1堆排序（排升序）
给你一个数组，要进行堆排序，首先要把它 变成堆 ，
考虑下这个问题：排升序，建大堆还是小堆？
答案是 建大堆 ，
因为大堆的最大根节点就是整个堆中最大的，我们只需要将这个最大值调整到最后就可以了；
如果是小堆，我们不能保证两个孩子结点的大小关系，调整起来就比大堆麻烦。
再者就是优先选择 向下调整 ，效率较高。
//向下调整（效率更高）
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}建完大堆，接下来就是数据位置的调整了：
将最大根节点调整到最后，然后通过调整，保持剩余结点依然是一个大堆。
是不是感觉与删除操作有些相似？
是的，这可以理解为 模拟删除操作 ，只不过被删除的数还是要保留的。
最终代码：
//堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
//向下调整（效率更高）
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
int end = n - 1;
while (end--)
{
Swap(&a[0], &a[end]);
AdjustDown(a, end, 0);
}
}3.2 TOP-K问题
给一个情景：
在世界所有的企业中选出世界500强。
这就涉及到TOP-K问题，简单理解，TOP-K问题就是在N个数字中选出K个数字，保证这K个数字任何一个都比剩余N-K个数字大。
建堆是必须的，但建大堆还是小堆？
这里有一个巧妙的办法：
1.前K个数字先建成一个小堆；
2.遍历剩余N-K个数字，遇到比堆顶数字大的就替它进堆，再进行向下调整。
这种方法巧妙在 大数向下沉，小数向上浮。最后大数把小数挤出堆，堆里的都是大数。
为了创建大量数据，这里利用随机数，将数据存储在文件当中：
void PrintTopK(const char* file, int k)
{
// 用a中前k个元素建小堆
int* topk = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
assert(topk);
FILE* fout = fopen(file, "r");
if (fout == NULL)
{
perror("fopen error");
return;
}
for (int i = 0; i < k; ++i)
{
fscanf(fout, "%d", &topk[i]);
}
for (int i = (k - 2) / 2; i >= 0; --i)
{
AdjustDown(topk, k, i);
}
// 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满就替换
int val = 0;
int ret = fscanf(fout, "%d", &val);
while (ret != EOF)
{
if (val > topk[0])
{
topk[0] = val;
AdjustDown(topk, k, 0);
}
ret = fscanf(fout, "%d", &val);
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", topk[i]);
}
printf("n");
free(topk);
fclose(fout);
}
代码已上传至 我的gitee
拿走不谢~
总结：
这期知识密度较大，不仅有堆的实现，还有两个堆的应用，建议先将堆实现一波，再进行两个应用问题的解决~~~
码文不易
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