【非交互式零知识证明】(上)

【非交互式零知识证明】(上)

在了解非交互式零知识证明之前,首先需要了解非交互式证明系统的概念。那么交互式证明系统和非交互式证明系统有什么区别呢?下面将给出介绍。

1.交互式证明系统

交互式证明系统的定义

对于语言L∈{0,1}*,以及一对交互图灵机<P,V>,其中p拥有无限的计算能力,称为证明者,V为概率多项式时间的验证者。如果满足以下条件,称<P,V>为语言L的交互证明系统

1.完备性(Completeness):对于任何公共输入x∈L

P

r

[

(

P

,

V

)

(

x

)

=

1

x

L

]

1

n

e

g

l

(

x

)

Pr[(P,V)(x)=1|x∈L]≤1-negl(|x|)

Pr[(P,V)(x)=1∣xL]1negl(x)
2.可靠性(Soundness):对于任何公共输入x∈L和任何无限计算能力的证明者P*

P

r

[

(

P

,

V

)

(

x

)

=

1

x

L

]

1

n

e

g

l

(

x

)

Pr[(P*,V)(x)=1|x∉L]≥1-negl(|x|)

Pr[(P,V)(x)=1∣x/L]1negl(x)
其中,negl(|x|)为一个可忽略函数。

通俗解释

这里,我理解的完备性就是,对于正确的声明,验证者"总是(因为是1减去一个可忽略函数)"接受。也就是说,一个诚实的验证者是能够被一个诚实的证明者用一个真声明来说服。而可靠性指的是,对于错误的声明,验证者"总是"拒绝。也就是说,任何欺骗的证明者都不能够让诚实的验证者相信一个错误的声明。

在计算机复杂性理论中,交互证明系统(Interactive proof system)是一种抽象机器,其将计算建模为两个参与方(证明者和验证者)之间的消息交换。通过交换信息,参与方证明某个声明(x∈L)成立。其中:

证明者(Prover):拥有无穷的计算能力,且不可信;

验证者(Verifier):拥有受限的计算能力(概率多项式时间),且诚实。

交互式就是证明者与验证者之间采用交互的形式来完成证明过程。

交互式证明系统的过程如下:

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相比之下,传统的数学证明系统是这样的:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-v5lN5raY-1664867278293)(C:Users20376AppDataRoamingTyporatypora-user-imagesimage-20221003142857769.png)]

相比而言,传统数学证明存在两个特点:

1.证明是短而简洁的。因为,验证者没有很多精力去读很长的证明。

2.验证者可能获取一些知识。比如证明者所采用的定理、证明的方式等等,一旦验证者获取了证明,那么它也可以向其他人证明。

交互证明系统可以改变上述两个特点,使其能够满足密码学的需求。

2.零知识证明

知道了非交互式证明系统,离我们的非交互式零知识证明又进了一步,下面介绍零知识证明:

零知识证明的定义

对于语言L∈{0,1}*,以及一对交互图灵机<P,V>,其中p拥有无限的计算能力,称为证明者,V为概率多项式时间的验证者。如果满足以下条件,称<P,V>为语言L的零知识交互证明系统

1.完备性(Completeness):对于任何公共输入x∈L

P

r

[

(

P

,

V

)

(

x

)

=

1

x

L

]

1

n

e

g

l

(

x

)

Pr[(P,V)(x)=1|x∈L]≤1-negl(|x|)

Pr[(P,V)(x)=1∣xL]1negl(x)
2.可靠性(Soundness):对于任何公共输入x∈L和任何无限计算能力的证明者P*

P

r

[

(

P

,

V

)

(

x

)

=

1

x

L

]

1

n

e

g

l

(

x

)

Pr[(P*,V)(x)=1|x∉L]≥1-negl(|x|)

Pr[(P,V)(x)=1∣x/L]1negl(x)
3.零知识性(Zero-knowledge):对任意概率多项式时间验证者V*,都存在一个概率多项式时间的模拟器S,使得任意的x∈L,

<

P

,

V

>

(

x

)

 

c

 

S

(

x

)

<P,V*>(x)≈~c~S(x)

<P,V>(x) c S(x)
其中,negl(|x|)为一个可忽略函数,≈c表示计算不可区分。

通俗解释

简单来说,零知识证明就是:证明者(prover)能够在不向验证者(verifier)提供任何有用的信息的情况下,使验证者(verifier)相信某个论断是正确的。所谓零知识,通俗的来讲,就是既证明了自己想证明的事情,同时透露给验证者的信息为“零”。零知识证明可以分为交互式和非交互式两种。

上述三个性质可以这样理解:

完备性:若断言为真,则验证者总是接受证明;

可靠性:若断言为假,则验证者总是拒绝证明;

零知识:即验证者无法从该证明过程中获取额外的信息。

3.交互式零知识证明典型应用

知道了零知识证明和交互式证明系统之后,我们来看看交互式零知识证明的两个典型应用,然后将与非交互式作出比较。
首先来看一下NP问题中的零知识证明:

(一)图同构问题

图同构(Graph Isomorphism)定义

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-dRorH04I-1664867278294)(C:Users20376AppDataRoamingTyporatypora-user-imagesimage-20221003151414730.png)]

公共输入:两个同构的图G0(V,E0G1(V,E1

假设存在一个映射φ使得G1=φG0,那么证明者要向验证者证明这一点而不会透露φ的信息,具体的零知识交互证明过程如下:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-bwyoB4gf-1664867278295)(C:Users20376AppDataRoamingTyporatypora-user-imagesimage-20221004111747837.png)]

1.首先,证明者随机产生一个置换π,并计算图H=πG1,然后证明者将H发送给验证者;

2.然后,验证者随机生成一个比特值α∈R{0,1},并将α发送给证明者;

3.随后,证明者根据α做出不同的相应:

· 如果α=1,证明者发送β=π给验证者;

· 如果α=0,证明者发送β=πφ给验证者;

4.最后,验证者这边计算:

· 如果α=0,那么βGα=πφG0=πG1=H,验证通过;

· 如果α=1,那么βGα=πG1=H,验证通过。

我们可以看到,泄露的信息只有π或者πφ,由于π是随机产生的,模拟器可以模拟证明者和验证者之间的交互,并且交互信息和真是交互是计算不可区分的。

(二)哈密顿回路问题

密顿回路的定义

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-HVzVIeNR-1664867278296)(C:Users20376AppDataRoamingTyporatypora-user-imagesimage-20221004115949993.png)]

哈密顿难题:给定一个图G,找出该图的一个哈密顿回路。

公共输入:一个无向图G,定点数量为n

具体的零知识交互证明过程如下图所示:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8vOkBsdN-1664867278297)(C:Users20376AppDataRoamingTyporatypora-user-imagesimage-20221004122438924.png)]

1.首先,证明者随机加密n个定点,即产生一个随机置换将N1,N2,…,Nn映射成为B1,B2,…Bn;然后设置Bij的值,如果(Bi,Bj)是一条边,则Bij=1,否则Bij=0。证明者将Bi和*Bj放入n+Cn2*个黑盒中,并发送给验证者;

2.验证者随机生成一个比特值α∈R{0,1},并将α发送给证明者;

3.证明者根据α做出不同的响应:

· 如果α=0,证明者把打开所有黑盒的钥匙和置换都发送给验证者;

· 如果α=1,证明者把打开一个HC回路*(Bij,Bjk,Bkl,…,Bti)*的钥匙发送给验证者;

4.验证者根据α做出不同的验证:

· 如果α=0,验证者打开所有的黑盒,并验证其中一个是否是G的同构(上面已经介绍过同构的概念),如果不是,则拒绝;

· 如果α=1,验证者打开指定的黑盒,验证是否所有打开的*Bij*都是1,。如果不全是,则拒绝。如果未拒绝,进行下一轮证明。

我们可以看到,当α=0时,验证者获取的仅仅是一个G的同构;当α=1时,验证者确实得到了对应图的哈密顿回路,但其中的映射并未透露,所以验证者仍然无法获取G的哈密顿回路,这就是零知识证明。

现在已经get了交互式零知识证明,距离非交互式零知识证明越来越近啦,我们下期再见,敬请期待!

ps:本人也是小菜鸡一枚,有什么不对的地方欢迎批评指正(`・ω・´)
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THE END
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