（邱维声）高等代数课程笔记：基，维数与坐标

admin • 2023-05-01 19:48 • 5G

3.5 基，维数与坐标

quad

本节，继续研究线性空间的结构。一般地，设

$V$ 是数域

$K$ 上的一个线性空间。

quad

首先，我们先将“线性相关”与“线性无关”的概念由“有限”向“无限”推广。

对比其它高等代数教程，邱老师在这一节非常巧妙的将“有限维”与“无限维”统一在了一起！

定义 1. 线性空间子集的线性相关与线性无关：
（1）

$V$ 的一个有限子集

{

⋯

}

{boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{s}}

${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}}$ 线性相关

⟺

:Longleftrightarrow

$:⟺$ 向量组

⋯

boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{s}

$α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性相关；
（2）

$V$ 的一个有限子集

{

⋯

}

{boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{s}}

${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}}$ 线性无关

⟺

:Longleftrightarrow

$:⟺$ 向量组

⋯

boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{s}

$α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关；
（3）

$V$ 的一个无限子集

$S$ 线性相关

⟺

:Longleftrightarrow

$:⟺$ 存在

$S$ 的一个有限子集线性相关；
（4）

$V$ 的一个无限子集

$S$ 线性无关

⟺

:Longleftrightarrow

$:⟺$

$S$ 的任一个有限子集都线性无关。

例 1：平面

$π$ 上的任意两个不共面的向量可成为该平面的一个基。

定义 2. 极大线性无关集与基：设

$V$ 是数域

$K$ 上的一个线性空间。

$V$ 的一个子集

$S$ 如果满足：
（1）

$S$ 是线性无关的；
（2）对于

∀

∈

−

forall ~ boldsymbol{beta} in V - S

$\forall β \in V - S$ （如果还有的话），有

∪

{

}

S cup {boldsymbol{beta}}

$S \cup {β}$ 线性相关，
则称

$S$ 为

$V$ 的一个极大线性无关集。

quad

可以看到，“极大线性无关集”的概念以及与“基”相近了，不过我们需要排除一些意外情况，比如

V

=

{

0

}

V ={boldsymbol{0}}

$V = {0}$ 。

quad

由前一节的讨论，我们知道

{

}

{boldsymbol{0}}

${0}$ 是线性相关的，因此，若

≠

{

}

V ne {boldsymbol{0}}

$V \neq = {0}$ ，则称

$V$ 的一个极大线性无关集为

$V$ 的一个基。

quad

如果将上述定义推广到

{

}

V ={boldsymbol{0}}

$V = {0}$ 的情形，则需要做一些规定：空集

phi

$ϕ$ 是线性无关的。之后再进行分析：若

{

}

V ={boldsymbol{0}}

$V = {0}$ ，由于
（1）

phi

$ϕ$ 是线性无关的；
（2）对于

∈

−

boldsymbol{0} in V - phi

$0 \in V - ϕ$ ，有

∪

{

}

{

}

phi cup {boldsymbol{0}} = {boldsymbol{0}}

$ϕ \cup {0} = {0}$ 线性相关，
由 定义 2，

phi

$ϕ$ 是

{

}

{boldsymbol{0}}

${0}$ 的一个极大线性无关集，此时，我们称

phi

$ϕ$ 是

$V$ 的一个基。

quad

定义 2 是合理的，但我们一般不会采用这个定义，因为这个定义比较抽象，不太直观。

定义 3. 基：设

$V$ 是数域

$K$ 上的一个线性空间。

$V$ 的一个子集

$S$ 若满足：
（1）

$S$ 是线性无关的；
（2）

$V$ 中的任一向量可由

$S$ 中的有限多个向量线性表出，
则称

$S$ 是

$V$ 的一个基。

quad

另外，
（1）若

{

⋯

}

S = {boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{r}}

$S = {α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}}$ （即

$S$ 为有限集），也称向量组

⋯

boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{r}

$α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$ 是

$V$ 的一个（有序）基；
（2）规定

phi

$ϕ$ 是线性无关的；
（3）规定线性空间

{

}

{boldsymbol{0}}

${0}$ 的一个基是

phi

$ϕ$ 。

quad

相较于定义 2，在定义 3 的基础上，只能规定"线性空间

{

0

}

{boldsymbol{0}}

${0}$ 的一个基是

ϕ

phi

$ϕ$ "，而由定义 2 是可以直接推出的。

quad

现在思考一个问题：是否任一个线性空间都有基？答案是肯定的，详情请参见 高等代数——大学创新教材（下册）

158

∼

159

P_{158}sim P_{159}

$P_{158} \sim P_{159}$ 。

定义 4. 有限维与无限维：
（1）若

$V$ 有一个基是有限子集，则称

$V$ 是有限维的；
（2）若

$V$ 有一个基是无限子集，则称

$V$ 是无限维的。

定理 1：若

$V$ 是有限维的，则

$V$ 的任意两个基所含个数相等。

证明：

quad

设向量组

{

⋯

}

{boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{s}}

${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}}$ 是

$V$ 的一个基，任取

$V$ 的另一个基

$S$ ，

（1）若

$S$ 所含的向量个数

$> n$ ，则在

$S$ 中至少可取

n+1

$n + 1$ 个向量

⋯

boldsymbol{beta}_{1},boldsymbol{beta}_{2},cdots,boldsymbol{beta}_{n+1}

$β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n + 1}$ 。显然，向量组

{

⋯

}

{boldsymbol{beta}_{1},boldsymbol{beta}_{2},cdots,boldsymbol{beta}_{n+1}}

${β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n + 1}}$ 可由向量组

{

⋯

}

{boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{s}}

${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}}$ 线性表出，由于

n+1>n

$n + 1 > n$ ，因此

⋯

boldsymbol{beta}_{1},boldsymbol{beta}_{2},cdots,boldsymbol{beta}_{n+1}

$β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n + 1}$ 线性相关，从而产生矛盾。

（2）设

$S$ 中所含向量的个数

≤

le n

$\leq n$ ，不妨设为

$m$ 。显然有

{

⋯

}

≅

{

⋯

}

{boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{s}} cong {boldsymbol{beta}_{1},boldsymbol{beta}_{2},cdots,boldsymbol{beta}_{m}},

${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}} ≅ {β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}},$

等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等，因此

m=n

$m = n$ .

推论：若

$V$ 是无限维的，则

$V$ 的任意一个基都是无限维的。

定义 5. 维数：
（1）若

$V$ 是有限维的，则称

$V$ 的一个基所含向量的个数为

$V$ 的维数。记作：

dim

⁡

dim V

$dim V$ 。
（2）若

$V$ 是无限维的，则将

$V$ 的维数记作

dim

⁡

∞

dim V = infty

$dim V = \infty$ 。
（3）若

{

}

V = {boldsymbol{0}}

$V = {0}$ ，则

dim

⁡

dim V = 0

$dim V = 0$ 。

命题 1：设

$V$ 是

$n$ 维的，则

$V$ 中任意

n+1

$n + 1$ 个向量都线性相关。

命题 2：设

dim

⁡

dim V = n

$dim V = n$ ，

{

⋯

}

S = {boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{n}}

$S = {α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}}$ 是

$V$ 的一个基，则

$V$ 中任一向量

⋯

boldsymbol{alpha} = a_{1} boldsymbol{alpha}_{1}+cdots + a_{n} boldsymbol{alpha}_{n}

$α = a_{1} α_{1} + \dots + a_{n} α_{n}$ 的表出方式唯一。

定义 6. 坐标：设

dim

⁡

dim V = n

$dim V = n$ ，

{

⋯

}

{boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{n}}

${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}}$ 是

$V$ 的一个基，向量

⋯

∈

boldsymbol{alpha} = a_{1} boldsymbol{alpha}_{1}+cdots + a_{n} boldsymbol{alpha}_{n} in V

$α = a_{1} α_{1} + \dots + a_{n} α_{n} \in V$ ，则称

boldsymbol{alpha}

$α$ 的坐标为：

(

⋮

)

left( begin{array}{c} boldsymbol{a}_1\ boldsymbol{a}_2\ vdots\ boldsymbol{a}_n\ end{array} right)

a1a2⋮an

命题 3：设

dim

⁡

dim V = n

$dim V = n$ ，则

$V$ 中任意

$n$ 个线性无关的向量都是

$V$ 的一个基。

命题 4：设

dim

⁡

dim V = n

$dim V = n$ ，若

$V$ 中任一向量可由向量组

⋯

boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{n}

$α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性表出，则集合

{

⋯

}

{boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{n}}

${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}}$ 是

$V$ 的一个基。

命题 5：设

dim

⁡

dim V = n

$dim V = n$ ，则

$V$ 的任意一个线性无关的向量组都能扩充成

$V$ 的一个基。

命题 6：设

dim

⁡

dim V = n

$dim V = n$ ，

$W$ 是

$V$ 的一个子空间，则

dim

⁡

≤

dim

⁡

dim W le dim V

$dim W \leq dim V$ 。

命题 7：向量组

⋯

boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{n}

$α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 的一个极大线性无关组是

⋯

<boldsymbol{alpha}_{1},boldsymbol{alpha}_{2},cdots,boldsymbol{alpha}_{n}>

$< α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} >$ 的一个基。

命题 8：关于向量组的生成子空间，我们有：

(

⋯

)

⟺

(

{

⋯

}

≅

{

⋯

}

)

left( <boldsymbol{alpha }_1,boldsymbol{alpha }_2,cdots ,boldsymbol{alpha }_s>=<boldsymbol{beta }_1,boldsymbol{beta }_2,cdots ,boldsymbol{beta }_t> right) ,,Longleftrightarrow left( left{ boldsymbol{alpha }_1,boldsymbol{alpha }_2,cdots ,boldsymbol{alpha }_s right} cong left{ boldsymbol{beta }_1,boldsymbol{beta }_2,cdots ,boldsymbol{beta }_t right} right)

$(< α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} >=< β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t} >) ⟺ ({α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}} ≅ {β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}})$

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THE END

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