密码学常见困难问题

大整数因数分解问题

1）给定两个素数p,q,计算乘积p·q=n很容易；
2）给定大整数n，求n的素因素p,q使得n=p·q非常困难.

DLP：The Discrete Logarithm Problem 离散对数问题

让G为一个阿贝尔群(交换群).我们把G中的二元操作写成乘法*.

1）给定G,g和h=g^a,计算a是困难的.

2）这里a就叫做h的以g为底的离散对数.

CDH：The Computational Diffie-Hellman Problem 计算DH问题

CDH是基于由Whit Diffie和Martin Hellman提出的两方协商密钥在公共信道上不会被窃取的问题:

1）Alice和Bob共同确定使用的循环群G,和生成器q
2）Alice选择一个随机的密钥整数a,Bob选择了一个随机的整数b
3）Alice计算g^a 在公共信道上发送给Bob,同时Bob也计算出 g^b在公共信道上发送给Alice.
4）Alice和Bob都计算g^ab=(g^a)^b=(g^b)^a通过知道他们自己的随机的整数,这个生成的就是他们协商的密钥.
密钥g^ab是一个能被用于Alice和Bob之间的对称加密.
但是有一些人窃听了他们之间的交换获得了G,g,g^a,g^b.

给定G,g,g^a,g^b,多项式时间内找出g^ab

DDH：The Decisional Diffie-Hellman Problem 决策Diffie-Hellman问题

用于证明难以区分的属性.假如说Alice和Bob执行如上所述的Diffie-Hellman密钥协议,那么G,g,g^a,g^b都是公共的,g^ab是密钥.直观上,DDH问题就是是否对手能够从随机的G中的元素区分出Alice和Bob的密钥g^ab.正式来说:

给定G,g,g^a,g^b和T_x使得T₀是G中随机的一个元素,T₁=g^ab同时x被随机均匀的从{0,1}中选择,找出x.

尽管不能直接计算出来.而且很明显,如果对手能解决CDH问题,那么它可以有效率的解决DDH,因为它已经可以得到gab的值.这意味着,CDH至少和DDH一样难.

困难性进行排序:DLP>,CDH>DDH
DLP有时候是简单的,会让CDH和DDH都变简单.因此群G和生成器g的选择在做密码学的时候是十分重要的!

GDH：Gap Diffie-Hellman

给定三元组（g,g^a,g^b）,a,b属于Z^*_q,在DDH（·）预言机的辅助下计算g^ab是困难的

BDH：双线性DH问题

给定四元组（P,aP,bP,cP）,a,b,c属于Z^*_q,判断等式e(P,P)^d = e(P,P)^abc是困难的

CBDH :Comptational Bilinear Diffie-Hellman Problem 计算双线性DH问题

给定输入G,g,g^a,g^b，计算输出e(g,g)^ab是困难的

DBDH：Decisional Bilinear Diffie-Hellman 判断双线性DH问题

给定输入G,g,g^a,g^b，g^c找出 e(g,g)^ab是困难的

GBDH：Gap 双线性DH问题

给定四元组（P,aP,bP,cP）,a,b,c属于Z^*_q,在DBDH（·）预言机的辅助下计算e(P,P)^abc是困难的

KEAI

CDHI :Computation Diffie-Hellman Inverse Problem计算DH逆问题

给定g^x属于G，x未知，输出(g^x)^-1是困难的，CDHI和CDH问题等价

ECDLP：Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem,椭圆曲线离散对数问题

椭圆曲线上的离散对数问题，两个元素P,Q属于G₁求整数a属于Z_q^*使得，Q = aP成立是困难的

BCDH

任意选取(a,b,c)，在多项式时间内计算出𝑔^𝑎𝑏𝑐

BDDH

任意选取(a,b,c,d), 在多项式时间内将(𝑔^𝑎, 𝑔^𝑏, 𝑔^𝑐, 𝑔^𝑎𝑏𝑐)和(𝑔^𝑎, 𝑔^𝑏, 𝑔^𝑐, 𝑔^𝑑)两者明显的区分开来。

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