第十三届蓝桥杯国赛 C++ C组 F 题、Python B组 E 题——近似GCD（AC）
1.近似GCD
1.题目描述
小蓝有一个长度为
n
n
n 的数组
A
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
A=left(a_{1}, a_{2}, cdots, a_{n}right)
A=(a1,a2,⋯,an), 数组的子数组被定义为从 原数组中选出连续的一个或多个元素组成的数组。数组的最大公约数指的是数 组中所有元素的最大公约数。如果最多更改数组中的一个元素之后, 数组的最 大公约数为
g
g
g, 那么称
g
g
g 为这个数组的近似 GCD。一个数组的近似 GCD 可能 有多种取值。
具体的, 判断
g
g
g 是否为一个子数组的近似 GCD 如下:
如果这个子数组的最大公约数就是
g
g
g, 那么说明
g
g
g 是其近似 GCD。
在修改这个子数组中的一个元素之后 (可以改成想要的任何值), 子数 组的最大公约数为
g
g
g, 那么说明
g
g
g 是这个子数组的近似 GCD。
小蓝想知道, 数组
A
A
A 有多少个长度大于等于 2 的子数组满足近似 GCD 的值为
g
g
g.
2.输入格式
输入的第一行包含两个整数
n
,
g
n,g
n,g，用一个空格分隔，分别表示数组
A
A
A 的长度和
g
g
g 的值。
第二行包含
n
n
n 个正数
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
,
a_1,a_2,⋯,a_n,
a1,a2,⋯,an, 相邻两个整数之间用一个空格分隔。
3.输出格式
输出一行包含一个整数表示数组
A
A
A 有多少个长度大于等于 2 的子数组的近 似 GCD 的值为
g
g
g 。
4.样例输入
5 3
1 3 6 4 10
5.样例输出
5
6.数据范围
2
≤
n
≤
1
0
5
,
1
≤
g
,
a
i
≤
1
0
9
。
2≤n≤10^5,1≤g,ai≤10^9。
2≤n≤105,1≤g,ai≤109。
7.原题链接
2.解题思路
首先，如果一个数是g的倍数，那我们称其为符合条件的数。如果一个数组的近似GCD为
g
g
g，那么该数组最多只能有一个数不符合条件。为什么呢？因为如果只有一个不符合条件的数话，我们将其变为g，那么该数组的GCD将为g。如果数组全部符合条件呢？那我们只需要随便将其中一个数变为g，该数组的GCD也将为g。
那么现在问题就转换为存在多少个长度大于2的子数组使得子数组内最多只存在一个不符合条件的数，这个问题我们可以使用双指针解决。右指针r遍历数组的每一个数，左指针l将是以r将作为子数组的右端点的情况下，左端点能最远能到达的距离，也就是使得
[
l
,
r
]
[l,r]
[l,r]区间最多只存在一个不符合条件的数，且
l
l
l 和
r
r
r 之间的距离尽可能长。这样的话，数组
[
l
,
r
]
[l,r]
[l,r],
[
l
+
1
,
r
]
[l+1,r]
[l+1,r],
[
l
+
2
,
r
]
[l+2,r]
[l+2,r]…
[
r
−
1
,
r
]
[r-1,r]
[r−1,r]都是符合条件的答案，总共是r-l个。对于数组的每一个数我们都将其作为r后，累加答案即可。
我们考虑变换数组的值，如果其是符合条件的数，我们将其值赋为1，否则赋为0，对于区间
[
l
,
r
]
[l,r]
[l,r]是否为符合条件的子数组，只需要判断
s
u
m
[
l
,
r
]
sum[l,r]
sum[l,r]是否大于等于
r
−
l
r-l
r−l。求区间和
s
u
m
sum
sum，我们可以使用前缀和数组直接获取，但由于是双指针，也可以同时维护，这里代码使用了前缀和数组。
时间复杂度:
O
(
n
)
O(n)
O(n)。
3.Ac_code
1.C++
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair<int, int> PII;
#define pb(s) push_back(s);
#define SZ(s) ((int)s.size());
#define ms(s,x) memset(s, x, sizeof(s))
#define all(s) s.begin(),s.end()
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1000000007;
const int N = 200010;
int n, g;
void solve()
{
cin >> n >> g;
std::vector<int> a(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int x;
cin >> x;
a[i] = (x % g == 0);
a[i] += a[i - 1];
}
int l = 0;
LL ans = 0;
for (int r = 2; r <= n; ++r) {
while (l + 1 < r && a[r] - a[l] < r - l - 1) l++;
ans += r - l -1;
}
cout << ans << 'n';
}
int main()
{
ios_base :: sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
int t = 1;
while (t--)
{
solve();
}
return 0;
}
2.Python
n,g=map(int,input().split())
a=list(map(int,input().split()))
a=[0]+a
ans=0#记录上一个不符合条件的数
last=0#记录符合条件子数组的左区间
l=1
for r in range(1,n+1):
if a[r]%g!=0:
l=last+1
last=r
ans=ans+(r-l)
print(ans)