【AI数学】用梯度下降算法优化线性回归方程(含代码)

众所周知,线性回归(Linear Regression)是最常见的机器学习算法之一,简单但超级实用。线性回归旨在用线性方程来拟合数据分布,在数据量小计算速度要求高的地方是神经网络的最佳替代品
LR的一般表现形式为:

y

=

w

T

x

+

b

y = vec{w}^Tvec{x} + b

y=w

Tx

+b
通常,LR优化方式可以通过构建均方误差损失函数,得到一个凸函数,计算导数为0的位置来确定

w

vec{w}

w

b

b

b,如周志华老师西瓜书里描述的那样。
在工程上,我们可以把LR当做一个简易的神经网络来对待,用梯度下降算法就可以优化。本文提供一个梯度下降算法优化LR的实验例子,有助于加深大家对LR以及梯度下降的理解。

实验意图:

假设有一个绝对正确的函数

y

=

f

(

x

;

w

,

b

)

=

w

T

x

+

b

y=f(vec{x};vec{w},b)=vec{w}^Tvec{x}+b

y=f(x

;w

,b)=w

Tx

+b,每输入一个

x

vec{x}

x

都可以得到一个准确的

y

y

y。那么,咱们只需要得到最真实的

w

vec{w}

w

b

b

b即可。假设最真实的

w

=

[

3

,

1

,

4

,

1

,

5

,

9

,

2

,

6

]

vec{w}=[3,1,4,1,5,9,2,6]

w

=[3,1,4,1,5,9,2,6],最真实的

b

=

3.7

b=3.7

b=3.7
初始化

w

vec{w}

w

b

b

b为随机数,通过大量样本的梯度反传来修正

w

vec{w}

w

b

b

b到真实的值。
expriment


实验环境:

python3.7
numpy >=1.15.1

先申明,以下代码为本人原创,借用最好在评论中告知我。

########################################################
# @author: MuZhan
# @contact: [email protected]
# experiment: using GD to optimize Linear Regression
# To fit `y=w*x+b`, where x and w are multi-dim vectors.
########################################################
import numpy as np

# initial setting
np.random.seed(10)
epochs = 30
lr = .1 # learning rate
w_ = np.array([3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]) # the ground truth w
b_ = 3.7 # the ground truth b
SAMPLE_NUM = 100
x_dim = len(w_)


# preparing random (x, y) pairs
print('preparing data...')
x_list = []
y_list = []
for i in range(SAMPLE_NUM):
    x = np.random.rand(x_dim)
    y = w_.dot(x) + b_ 
    x_list.append(x)
    y_list.append(y)

# init w
np.random.seed(10)
w = np.random.rand(x_dim)

# init b
b = 1

# training
print('training...')
for e in range(epochs):
    print('epoch: ', e, end='t')
    sum_loss = 0
    for i in range(len(x_list)):
        x = x_list[i]
        y_ = y_list[i]
        y = w.dot(x) + b
        loss = (y - y_) ** 2
        sum_loss += loss

        # use Gradient Descent to update parameters
        w = w - 2 * lr * (y - y_) * x
        b = b - 2 * lr * (y - y_)
    print('loss: ', sum_loss)

print('Ground Truth w: ', w_, end='t')
print('learned w: ', w)
print('Ground Trueh b: ', b_, end='t')
print('learned b: ', b)

c++:

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#define SAMPLES_NUM 10000
#define EPOCHS 20
#define LEARNING_RATE 0.001

using namespace std;

float dot(float* x, float* w, int length){
    float res = 0;
    for(int i=0; i<length; ++i){
        res += x[i] * w[i];
    }
    return res;
}

float get_random(){
    return (rand() % 1000) / 100.0;
}

void update_weights(float* x, float* w, int length, float sqrt_loss)
{
	for(int i=0; i<length; ++i){
	    w[i] -= 2 * LEARNING_RATE * sqrt_loss * x[i];
	}
}


int main(){
    float x[8] = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4};
    float w_[8] = {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6}; // Ground Truth w
    float b_ = 3.7; // Ground Truth b
    int length = int(sizeof(w_)/sizeof(w_[0]));
    float y;

    // collect samples
    vector<vector<float>> samples;
    vector<float> tmp;
    for(int i=0; i<=length; ++i) tmp.push_back(0);
    for(int i=0; i<SAMPLES_NUM; ++i){
        for(int j=0; j<length; ++j){
	    tmp[j] = get_random();
	    x[j] = tmp[j];
	}
	y = dot(x, w_, length) + b_;
	tmp[length] = y;
        samples.push_back(tmp);
    }

    // init w, b
    float w[8] = {1, 2, 3};
    float b = 1.0f;


    // training
    float x_tmp[length];
    float y_tmp, loss;
    for(int e=0; e<EPOCHS; ++e){
        for(int i=0; i<samples.size(); ++i){
	    vector<float> sample = samples[i];
	    copy(sample.begin(), sample.end(), x_tmp);
	    y_tmp = sample[length];
	    y = dot(x_tmp, w, length) + b;
	    loss = (y - y_tmp) * (y - y_tmp);

	    // update parameters
	    update_weights(x_tmp, w, length, (y - y_tmp));
	    b -= 2 * LEARNING_RATE * (y - y_tmp);
            
	}
	    cout<<loss<<endl;
    }
    for(int i=0; i<length; ++i){
        cout<<w[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    cout<<b<<endl;

    return 0;
}

本图文内容来源于网友网络收集整理提供,作为学习参考使用,版权属于原作者。
THE END
分享
二维码
< <上一篇
下一篇>>