MIT_线性代数笔记：第 18 讲 行列式及其性质
课程进入第二大部分，之前学习了大量长方形矩阵的性质，现在我们集中讨论方阵的性质，行列式和特征值将我们的又一个重点，求行列式则与特征值息息相关。
行列式 Determinants
行列式是一个每个方阵都具有的数值，我们将矩阵 A 的行列式记作
d
e
t
(
A
)
=
∣
A
∣
det(A)= begin{vmatrix} A end{vmatrix}
det(A)=
A
它将尽可能多的矩阵信息压缩在这一个数里。例如矩阵不可逆或称奇异与矩阵的行列式等于 0 等价，因此可以用行列式来判定矩阵是否可逆。
性质 Properties
直接给出 n 阶行列式的公式，则一下子代入了大量信息，并不利于接受这个概念，我们从行列式的三个性质开始讲起，这三个性质定义了行列式。
这里可以给出二阶行列式的表达式
∣
a
b
c
d
∣
=
a
d
−
b
c
begin{vmatrix} a quad b \ c quad d end{vmatrix} quad = begin{matrix} ad - bc end{matrix}
abcd
=ad−bc
我们可以用它来验证行列式的性质，也可以看到它本身是可以从行列式的性质推导出来的。
- det(I)=1 。
∣
1
0
0
1
∣
=
+
1
begin{vmatrix} 1 quad 0 \ 0 quad 1 end{vmatrix} quad = begin{matrix} +1 end{matrix}
1001
=+1 - 如果交换行列式的两行，则行列式的数值会反号。从前两条可以推知置换矩阵的行列式是+1 或者-1。
∣
0
1
1
0
∣
=
−
1
begin{vmatrix} 0 quad 1 \ 1 quad 0 end{vmatrix} quad = begin{matrix} -1 end{matrix}
0110
=−1 - (a)如果在矩阵的一行乘上 t，则行列式的值就要乘上 t。
(b)行列式是“矩阵的行”的线性函数。
∣
t
a
t
b
c
d
∣
=
t
∣
a
b
c
d
∣
begin{vmatrix} ta quad tb \ c quad d end{vmatrix} quad = t begin{vmatrix} a quad b \ c quad d end{vmatrix}
tatbcd
=t
abcd
∣
a
+
a
′
b
+
b
′
c
d
∣
=
∣
a
b
c
d
∣
+
∣
a
′
b
′
c
d
∣
begin{vmatrix} a + a' quad b + b' \ c quad d end{vmatrix} quad = begin{vmatrix} a quad b \ c quad d end{vmatrix} +begin{vmatrix} a' quad b' \ c quad d end{vmatrix}
a+a′b+b′cd
=
abcd
+
a′b′cd
-
如果矩阵的两行是完全相同的，则它的行列式为 0。这可以从第二条性质推导出来，因为交换这个相同的两行，行列式应该变号；但是新生成的矩阵跟原矩阵没有区别，因此行列式应该不变，所以有 det = -det，所以 det 等于 0。
-
从矩阵的某行 k 减去另一行 i 的倍数，并不改变行列式的数值，我们以二阶为
例：
-
如矩阵 A 的某一行都是 0，则其行列式为 0。可以应用性质 3(a)，取 t=0 证明。
-
三角阵的行列式的值等于其对角线上数值（主元）的乘积。
性质 5 告诉我们三角阵通过行消元法得到对角阵的过程中，行列式的数值没有发生变化。性质 3(a)告诉我们对角阵的行列式等于其主元的乘积再乘以单位阵的行列式。而性质 1 表明单位阵行列式为 1。 -
当且仅当矩阵 A 为奇异矩阵时，其行列式为 0。 如果矩阵 A 为奇异阵，则必可通过消元法使得矩阵的某行全等于零，则按照性
质 6，A 的行列式为 0。 如果其不是奇异阵，则通过消元可以得到一个上三角矩阵，且其主元均不为 0，则按照性质 7，行列式的数值等于主元的乘积也不等于 0。
计算非奇异矩阵的行列式有确切的公式，但通常计算机是靠消元的方法来转化为三角阵，然后将主元相乘来进行计算的。
-
det(AB)=det(A)det(B)
尽管矩阵的和的行列式不等于行列式的和，但矩阵乘积的行列式等于矩阵行列
式的乘积。
如果 A 为可逆矩阵，则A
−
1
A^{-1}
A−1 A=I，所以有
d
e
t
(
A
−
1
)
=
1
d
e
t
(
A
)
det(A^{-1}) =frac {1}{det(A)}
det(A−1)=det(A)1
此外，det(A
2
A^2
A2)=
d
e
t
(
A
)
2
det(A)^2
det(A)2 并且有 det(2A)=
2
n
2^n
2ndet(A)。后一个公式让我们容易联想到体积，当长宽高都倍增之后，体积变成了原来的
2
3
2^3
23=8 倍。
-
det(
A
T
A^T
AT)=det(A)
证明： 矩阵消元可得A=LU，则A
T
A^T
AT=
U
T
U^T
UT
L
T
L^T
LT，由性质9可知det(A)=det(L)det(U)，
det(A
T
A^T
AT)= det(
L
T
L^T
LT)det(
U
T
U^T
UT)，根据性质 7 可知 det(
L
T
L^T
LT)=det(L)，det(
U
T
U^T
UT)=det(U)
则二者乘积相等。
因为性质 10 成立，所以性质 2,3,4,5,6 可以用在行列式的列性质上。 行列式的性质 2 中隐藏着一个内容，这就是置换隐藏着奇偶性，一个矩阵不可能经过奇数次置换得到和偶数次置换相同的方阵。