【密码学基础】RSA加密算法
1 RSA介绍
- RSA是一种非对称加密算法，即加密和解密时用到的密钥不同。
- 加密密钥是公钥，可以公开；解密密钥是私钥，必须保密保存。
- 基于一个简单的数论事实：两个大质数相乘很容易，但想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥，即公钥；而两个大质数组合成私钥。
2 密钥对的生成
step 1 生成N（公钥和私钥的一部分）
首先选取两个互为质数的数
p
p
p和
q
q
q（
p
≠
q
,
g
c
d
(
p
,
q
)
=
1
pneq q, gcd(p, q)=1
p=q,gcd(p,q)=1），于是：
N
=
p
∗
q
N = p * q
N=p∗q
step 2 生成L
根据欧拉函数，不大于
N
N
N且与
N
N
N互质的数是
p
−
1
p-1
p−1和
q
−
1
q-1
q−1两个数的最小公倍数：
L
=
[
p
−
1
,
q
−
1
]
=
(
p
−
1
)
(
q
−
1
)
L = [p-1, q-1] = (p-1)(q-1)
L=[p−1,q−1]=(p−1)(q−1)
互质数
p
p
p和
q
q
q不能太小，如果他们足够大，那么根据目前的计算机技术和其他工具，至今也没能从
N
N
N分解出
p
p
p和
q
q
q。也就是说，只要密钥长度
N
N
N足够大（1024足够），基本上不可能从公钥信息推出私钥信息。
step 3 生成E（加密密钥）
满足如下两个条件：
1
<
E
<
L
1 < E < L
1<E<L
g
c
d
(
E
,
L
)
=
1
gcd(E, L) = 1
gcd(E,L)=1
g
c
d
(
E
,
L
)
=
1
gcd(E, L) = 1
gcd(E,L)=1保证
E
E
E和
L
L
L最大公因数为1（互质），因此保证step 4生成解密密钥
D
D
D时，一定存在
D
D
D满足条件。
step 4 生成D（解密密钥）
满足如下两个条件：
1
<
D
<
L
1 < D < L
1<D<L
(
E
∗
D
)
m
o
d
L
＝
1
(E * D) mod L ＝ 1
(E∗D)modL＝1
3 加密解密过程
另外，密钥对为：
(
E
,
D
,
N
)
(E, D, N)
(E,D,N)。
4 计算示例
明文信息为
p
l
a
i
n
t
e
x
t
=
85
，
E
=
7
，
p
=
11
，
q
=
13.
plaintext=85，E=7，p=11，q=13.
plaintext=85，E=7，p=11，q=13.
生成密钥对
step 1:
N
=
p
∗
q
=
11
∗
13
=
143
N=p*q=11*13=143
N=p∗q=11∗13=143
step 2:
L
=
(
p
−
1
)
(
q
−
1
)
=
10
∗
12
=
120
L=(p-1)(q-1)=10*12=120
L=(p−1)(q−1)=10∗12=120
step 3:
(
E
∗
D
)
m
o
d
L
=
1
⇒
(
7
∗
D
)
m
o
d
120
=
1
⇒
D
=
103
(E*D)modL=1 Rightarrow (7*D)mod120=1 Rightarrow D=103
(E∗D)modL=1⇒(7∗D)mod120=1⇒D=103
加密
c
y
p
h
e
r
t
e
x
t
=
p
l
a
i
n
t
e
x
t
E
m
o
d
N
=
8
5
7
m
o
d
143
=
123
cyphertext = plaintext^E mod N=85^7mod143=123
cyphertext=plaintextEmodN=857mod143=123
解密
p
l
a
i
n
t
e
x
t
=
c
y
p
h
e
r
t
e
x
t
D
m
o
d
143
=
12
3
103
m
o
d
143
=
85
plaintext = cyphertext^D mod 143=123^{103}mod143=85
plaintext=cyphertextDmod143=123103mod143=85