【现代密码学】笔记3.4-3.7–构造安全加密方案、CPA安全、CCA安全 《introduction to modern cryphtography》
【现代密码学】笔记3.4-3.7--构造安全加密方案、CPA安全、CCA安全 《introduction to modern cryphtography》
写在最前面
主要在 哈工大密码学课程 张宇老师课件 的基础上学习记录笔记。
内容补充：骆婷老师的PPT
《introduction to modern cryphtography》–Jonathan Katz, Yehuda Lindell（现代密码学——原理与协议）中相关章节
密码学复习笔记 这个博主好有意思
初步笔记，如有错误请指正
快速补充一些密码相关的背景知识
私钥加密与伪随机性 第二部分
-
本节课学习另外两种私钥加密安全理论：选择明文攻击（CPA）下不可区分性、选择密文攻击（CCA）下不可区分性以及相关的密码学原语、假设、构造和证明。这些攻击更好的刻画了现实世界中敌手的能力，相应的密码学方案也是目前真正在实际使用的。
-
目录：流加密与CPA，CPA安全加密方案，操作模式，CCA安全加密方案
流加密与CPA
-
流加密方案（Stream Cipher）
- 首先介绍当有多个消息需要被传递时，如何利用之前学习的基于PRG的加密方案来保护消息。
- 思路：受一次一密方案的启发，通过将变长消息与密钥的异或来加密
- 流加密方案：通过将多个消息“拼成”一个消息，与伪随机的比特流（密钥流）异或来加密
- 密钥流：由一个变长的伪随机生成器产生
- 优点：逻辑简单，比分组密码更快
- 缺点：难以做到安全
-
采用流加密方案的安全多重加密
- 同步模式：用一个流中不同部分分别加密各个消息；
- 异步模式：以密钥和初始向量一起作为输入来产生流，每个明文的加密采用相同的密钥和不同的初始向量
-
初始向量（Initial Vector），
I
V
IV
IV是随机选取的并且是公开的；其生成是随机的并不受控制，但生成后并不保密；密钥的生成是随机的并不受控制，但生成后也要保密。
-
初始向量（Initial Vector），
- 两种模式差异：
- 同步模式适合持续通信场景，例如语音；异步模式适合间断通信场景，例如即时消息。
-
流密码的安全性
- 现状：没有标准化和流行的方案，安全性仍有疑问，例如在802.11中WEP协议的RC4，线性反馈移位寄存器（Linear Feedback Shift Registers）；
- 警告：不要使用任何流加密方案，如果一定需要的话，采用由分组加密方案构造的。
- eStream项目致力于设计安全的流密码
-
相关密钥：真实世界例子
- 用于多重加密的密钥（初始向量和密钥对）必须是独立的。否则，前面的攻击就会生效；
- 对于802.11b WEP的若干攻击：
- WEP为异步模式，
E
n
c
(
m
i
)
:
=
<
I
V
i
,
G
(
I
V
i
∥
k
)
⊕
m
i
>
mathsf{Enc}(m_i) := left< IV_i, G(IV_i|k) oplus m_iright>
Enc(mi):=⟨IVi,G(IVi∥k)⊕mi⟩ -
I
V
IV
IV长度为24比特，在2
24
≈
2^{24} approx
224≈ 16M 帧后I
V
IV
IV会产生重复； - 在一些WiFi网卡上，在电源重启后
I
V
IV
IV重置为0； -
I
V
i
=
I
V
i
−
1
+
1
IV_i = IV_{i-1} + 1
IVi=IVi−1+1. 对于RC4，在40,000帧后可以恢复k
k
k ；
- WEP为异步模式，
多重加密
-
多重加密（Multiple Encryptions）
- 在一次一密中，一个密钥不可以用于对多个消息的加密；否则，就是不安全的。如果敌手能够获得用同一个密钥加密后的多个密文，则之前的方案都是不安全的；为此，我们需要新的加密方案来防御这样的攻击。
- 多个明文的加密实验
P
r
i
v
K
A
,
Π
m
u
l
t
(
n
)
mathsf{PrivK}^{mathsf{mult}}_{mathcal{A},Pi}(n)
PrivKA,Πmult(n)，当一次加密多个明文时，窃听者敌手能够区分出两组明文吗？ - 一个敌手
A
mathcal{A}
A与一个挑战者C
mathcal{C}
C进行3轮交互：-
A
mathcal{A}
A选择两个长度相同、内容不同明文向量M
⃗
0
=
(
m
0
1
,
…
,
m
0
t
)
vec{M}_0=(m_0^1,dots,m_0^t)
M0=(m01,…,m0t),M
⃗
1
=
(
m
1
1
,
…
,
m
1
t
)
vec{M}_1=(m_1^1,dots,m_1^t)
M1=(m11,…,m1t)，其中两个向量中同一位置的明文长度相同∀
i
,
∣
m
0
i
∣
=
∣
m
1
i
∣
forall i, |m_0^i| = |m_1^i|
∀i,∣m0i∣=∣m1i∣，发送给C
mathcal{C}
C； -
C
mathcal{C}
C根据密钥生成算法生成一个新密钥k
←
G
e
n
(
1
n
)
k gets mathsf{Gen}(1^n)
k←Gen(1n)，一个随机比特b
←
{
0
,
1
}
b gets {0,1}
b←{0,1}。对向量M
⃗
b
vec{M}_b
Mb中每个明文加密c
i
←
E
n
c
k
(
m
b
i
)
c^i gets mathsf{Enc}_k(m_b^i)
ci←Enck(mbi) 得到一个密文向量C
⃗
=
(
c
1
,
…
,
c
t
)
vec{C}=(c^1,dots,c^t)
C=(c1,…,ct) ，并发送给A
mathcal{A}
A； -
A
mathcal{A}
A输出对所加密明文向量的猜测b
′
b'
b′，若b
=
b
′
b=b'
b=b′，则A
mathcal{A}
A成功；否则，失败；
-
- 这与之前的单个消息不可区分实验类似的，区别在于用同一个密钥加密的多个消息。敌手可以获得多个明文的密文，比单个明文不可区分实验中的敌手有更强的能力。
-
多重加密安全定义
-
Π
Pi
Π 是窃听者出现时不可区分的多重加密方案，如果任意PPT的敌手
A
mathcal{A}
A, 存在可忽略的函数
n
e
g
l
mathsf{negl}
negl 使得
Pr
[
P
r
i
v
K
A
,
Π
m
u
l
t
(
n
)
=
1
]
≤
1
2
+
n
e
g
l
(
n
)
.
Prleft[mathsf{PrivK}^{mathsf{mult}}_{mathcal{A},Pi}(n)=1right] le frac{1}{2} + mathsf{negl}(n).
Pr[PrivKA,Πmult(n)=1]≤21+negl(n).
-
根据这个定义，来分析迄今学习的密码学方案是否是多重加密不可区分的？
-
-
攻击确定性加密方案
- 问题：如果一个加密方案中加密算法是确定性的，即同一个明文会被同一个密钥加密成同一个密文，那么该加密方案是
多重加密安全的吗？ - 攻击：对于确定性加密方案，敌手可以构造
m
0
1
=
m
0
2
m_0^1 = m_0^2
m01=m02 并且m
1
1
≠
m
1
2
m_1^1 neq m_1^2
m11=m12，然后当c
1
=
c
2
c^1 = c^2
c1=c2，输出b
′
=
0
b'=0
b′=0，否则b
′
=
1
b'=1
b′=1。 - 因此，确定性加密方案不是多重加密安全的，我们需要新的密码学原语来防御多重加密攻击。接下来，我们介绍一种更强的攻击，其涵盖了多重加密攻击。只要防御了这个新定义的攻击，也就同时防御了多重加密攻击。
- 问题：如果一个加密方案中加密算法是确定性的，即同一个明文会被同一个密钥加密成同一个密文，那么该加密方案是
CPA安全加密方案
-
选择明文攻击（Chosen-Plaintext Attacks (CPA)）（思考）
-
敌手具有获得其所选择明文对应的密文的能力。
-
第二次世界大战中的例子：美国海军密码分析学家相信密文“AF”表示日语中的“中途岛”；但美国将军不认为中途岛会遭到攻击（？这里没看懂）；美国海军密码分析学家发送了一个明文，中途岛淡水供给不足；日本军队截获的明文，并发送了一段密文，“AF”淡水不足；美国军队派出三艘航空母舰并且取胜。
-
这里例子里，美国海军密码分析学家选择了明文并得到了密文。
-
CPA安全实验、预言机访问（oracle access）
-
CPA安全实验
- CPA不可区分实验
P
r
i
v
K
A
,
Π
c
p
a
(
n
)
mathsf{PrivK}^{mathsf{cpa}}_{mathcal{A},Pi}(n)
PrivKA,Πcpa(n):- 挑战者生成密钥
k
←
G
e
n
(
1
n
)
k gets mathsf{Gen}(1^n)
k←Gen(1n)；（这里与窃听者不可区分实验相比，密钥的生成提前了，这是为了下一步提供加密预言机） -
A
mathcal{A}
A 被给予输入1
n
1^n
1n 和对加密函数E
n
c
k
(
⋅
)
mathsf{Enc}_k(cdot)
Enck(⋅)的预言机访问（oracle access）A
E
n
c
k
(
⋅
)
mathcal{A}^{mathsf{Enc}_k(cdot)}
AEnck(⋅) ，输出相同长度m
0
,
m
1
m_0, m_1
m0,m1 ； - 挑战者生成随机比特
b
←
{
0
,
1
}
b gets {0,1}
b←{0,1}，将挑战密文c
←
E
n
c
k
(
m
b
)
c gets mathsf{Enc}_k(m_b)
c←Enck(mb) 发送给A
mathcal{A}
A； -
A
mathcal{A}
A 继续对E
n
c
k
(
⋅
)
mathsf{Enc}_k(cdot)
Enck(⋅)的预言机的访问，输出b
′
b'
b′；如果b
′
=
b
b' = b
b′=b，则A
mathcal{A}
A成功P
r
i
v
K
A
,
Π
c
p
a
=
1
mathsf{PrivK}^{mathsf{cpa}}_{mathcal{A},Pi}=1
PrivKA,Πcpa=1，否则 0。
- 挑战者生成密钥
- 敌手对加密函数预言机访问是指，敌手以任意明文作为输入，可以从预言机得到对应密文。此处，密钥是已经提前生成的，因此才能通过加密函数预研机得到密文，但仍对敌手保密。
预言机是一个形象的比喻，它是一个黑盒，只接收输入并返回输出；访问者不需要了解其内部构造。 - 该实验与窃听者不可区分实验的区别在于，敌手可访问加密预言机，在实验过程中始终可以，包括在产生两个明文阶段，以及在收到挑战密文后猜测被加密明文阶段，获得任意明文被同一密钥加密的密文；而且密文是逐个获得，可以根据之前的明文和密文对来“适应性地”构造新的查询。
- CPA敌手比多重加密的敌手更“强大”，因为多重加密敌手是可以一次性地获得一组密文，而CPA敌手可以根据已经获得的明文和密文“多次适应性地”再次获得密文。
- CPA不可区分实验
-
CPA安全
-
Π
Pi
Π 是CPA不可区分加密方案 (CPA安全的)，如果任意概率多项式时间算法
A
mathcal{A}
A，存在可忽略的函数
n
e
g
l
mathsf{negl}
negl使得，
Pr
[
P
r
i
v
K
A
,
Π
c
p
a
(
n
)
=
1
]
≤
1
2
+
n
e
g
l
(
n
)
Prleft[mathsf{PrivK}^{mathsf{cpa}}_{mathcal{A},Pi}(n)=1right] le frac{1}{2} + mathsf{negl}(n)
Pr[PrivKA,Πcpa(n)=1]≤21+negl(n)
-
定理：CPA安全也是多重加密安全的。证明略。直觉上，CPA敌手比多重加密敌手更强大。
-
之前的方案也难以实现CPA安全；
-
多重加密安全意味着CPA安全？（作业）显然是否定的。那么，思考两种安全定义的区别成为解题的关键。
-
操作模式
伪随机函数PRF
-
伪随机函数（Pseudorandom Function）概念
- 为了实现CPA安全，之前的PRG提供的随机性不够用了，需要新的数学工具为加密提供额外的随机性。为此引入伪随机函数（PRF），是对伪PRG的泛化：PRG从一个种子生成一个随机串，PRF从一个key生成一个函数；
- 带密钥的函数Keyed function
F
:
{
0
,
1
}
∗
×
{
0
,
1
}
∗
→
{
0
,
1
}
∗
F : {0,1}^* times {0,1}^* to {0,1}^*
F:{0,1}∗×{0,1}∗→{0,1}∗-
F
k
:
{
0
,
1
}
∗
→
{
0
,
1
}
∗
F_k : {0,1}^* to {0,1}^*
Fk:{0,1}∗→{0,1}∗,F
k
(
x
)
=
def
F
(
k
,
x
)
F_k(x) overset{text{def}}{=} F(k,x)
Fk(x)=defF(k,x) - 两个输入到一个输出，看上去像，但不是加密函数；输入key，得到一个一输入到一输出的函数；
-
- 查表Look-up table
f
f
f:{
0
,
1
}
n
→
{
0
,
1
}
n
{0,1}^n to {0,1}^n
{0,1}n→{0,1}n 需要多少比特信息存储？- 查表是一个直接描述输入与输出间映射的表格，一个条目对应一个输入与一个输出；当该映射是随机产生的，是一个真随机函数；
- 函数族Function family
F
u
n
c
n
mathsf{Func}_n
Funcn: 包含所有函数{
0
,
1
}
n
→
{
0
,
1
}
n
{0,1}^n to {0,1}^n
{0,1}n→{0,1}n.∣
F
u
n
c
n
∣
=
2
n
⋅
2
n
|mathsf{Func}_n| = 2^{ncdot2^n}
∣Funcn∣=2n⋅2n- 一个PRF是函数族中一个子集，key确定下的PRF是函数族中一个元素，一个查表是函数族中一个元素；
- 长度保留Length Preserving:
ℓ
k
e
y
(
n
)
=
ℓ
i
n
(
n
)
=
ℓ
o
u
t
(
n
)
=
n
ell_{key}(n) = ell_{in}(n) = ell_{out}(n) = n
ℓkey(n)=ℓin(n)=ℓout(n)=n；密钥长度与函数输入、输出长度相同为n
n
n；没有特殊说明时，只讨论长度保留的函数；
-
伪随机函数定义
- 直觉上，一个PRF生成的带密钥的函数与从函数族中随机选择的真随机函数（查表）之间是不可区分的；然而，一个真随机函数具有指数长度，无法“预先生成”，只能“on-the-fly”（边运行、边生成）的使用，引入一个对函数
O
mathcal{O}
O的确定性的预言机访问（oracle access）D
O
D^mathcal{O}
DO。 - 这里的预言机是一个抽象的函数。访问预言机，就是给出任意输入，得到该函数的输出。访问预言机的能力不包括了解正在访问的预言机具体内部构造。
- 一个带密钥的函数是一个伪随机函数（PRF），对任意PPT区分器
D
D
D，∣
Pr
[
D
F
k
(
⋅
)
(
1
n
)
=
1
]
−
Pr
[
D
f
(
⋅
)
(
1
n
)
=
1
]
∣
≤
n
e
g
l
(
n
)
left|Pr[D^{F_k(cdot)}(1^n)=1] - Pr[D^{f(cdot)}(1^n)=1]right| le mathsf{negl}(n)
Pr[DFk(⋅)(1n)=1]−Pr[Df(⋅)(1n)=1]
≤negl(n)，其中f
f
f是F
u
n
c
n
mathsf{Func}_n
Funcn中随机函数。- 这里区分器
D
D
D是一个算法，可以访问预言机，但并不知道预言机背后是什么。 - 这里不可区分性关键是，对真随机查表和伪随机函数，区分器输出相同结果概率的差异。区分器输出1或0本身没有，也无需，有特定语义。
- 这里区分器
- PRF和PRG的关系在后面会学习，可以由PRG来构造PRF。
- 直觉上，一个PRF生成的带密钥的函数与从函数族中随机选择的真随机函数（查表）之间是不可区分的；然而，一个真随机函数具有指数长度，无法“预先生成”，只能“on-the-fly”（边运行、边生成）的使用，引入一个对函数
-
PRF例题
- 问题一个固定长度的一次一密方案是一个PRF吗？
- 对于一个PRF，在密钥保密和没有预言机访问时，给指定输入，能以不可忽略的概率猜测输出相关信息吗？
- 如果是PRF，则给出该函数与查表的相似性；否则，给出一个区分器可以区分出该函数不是随机的。
-
以PRF实现CPA安全
- 新随机串
r
r
r，每次新生成一个随机串； -
F
k
(
r
)
F_k(r)
Fk(r):∣
k
∣
=
∣
m
∣
=
∣
r
∣
=
n
|k| = |m| = |r| = n
∣k∣=∣m∣=∣r∣=n. 长度保留； -
G
e
n
mathsf{Gen}
Gen:k
∈
{
0
,
1
}
n
k in {0,1}^n
k∈{0,1}n. -
E
n
c
mathsf{Enc}
Enc:s
:
=
F
k
(
r
)
⊕
m
s := F_k(r)oplus m
s:=Fk(r)⊕m,c
:
=
<
r
,
s
>
c := left<r, sright>
c:=⟨r,s⟩. 密文包括两部分新随机串，以及异或输出； -
D
e
c
mathsf{Dec}
Dec:m
:
=
F
k
(
r
)
⊕
s
m := F_k(r)oplus s
m:=Fk(r)⊕s. - 定理：上述方案是CPA安全的。
- 新随机串
-
从PRF到CPA安全的证明
- 思路：从PRF的区分器算法
D
mathcal{D}
D规约到加密方案敌手算法A
mathcal{A}
A，区分器D
mathcal{D}
D作为敌手A
mathcal{A}
A的挑战者，敌手A
mathcal{A}
A实验成功时区分器D
mathcal{D}
D输出1。分两种情况，当输入真随机函数f
f
f时，相当于一次一密；当输入伪随机函数F
k
F_k
Fk时，为加密方案。 - 规约：
D
mathcal{D}
D输入预言机，输出一个比特；A
mathcal{A}
A的加密预言机访问通过D
mathcal{D}
D的预言机O
mathcal{O}
O来提供，c
:
=
<
r
,
O
(
r
)
⊕
m
>
c := left<r, mathcal{O}(r) oplus m right>
c:=⟨r,O(r)⊕m⟩；D
mathcal{D}
D输出1，当A
mathcal{A}
A在实验中成功。- 这里有两个预言机：
D
mathcal{D}
D访问的预言机O
mathcal{O}
O，A
mathcal{A}
A访问的加密预言机E
n
c
k
mathsf{Enc}_k
Enck，后者不能直接访问前者的预言机。
- 这里有两个预言机：
- 思路：从PRF的区分器算法
-
从PRF到CPA安全的证明（续）
-
考虑真随机函数
f
f
f的情况，分析不可区分实验成功概率
Pr
[
P
r
i
v
K
A
,
Π
~
c
p
a
(
n
)
=
1
]
=
Pr
[
B
r
e
a
k
]
Pr[mathsf{PrivK}_{mathcal{A},tilde{Pi}}^{mathsf{cpa}}(n) = 1] = Pr[mathsf{Break}]
Pr[PrivKA,Π~cpa(n)=1]=Pr[Break]。敌手
A
mathcal{A}
A访问加密预言机可以获得多项式
q
(
n
)
q(n)
q(n)个明文与密文对的查询结果并得到随机串和pad
{
<
r
i
,
f
(
r
i
)
>
}
{ left< r_i, f(r_i) right> }
{⟨ri,f(ri)⟩}；当收到挑战密文
c
=
<
r
c
,
s
:
=
f
(
r
c
)
⊕
m
b
>
c=left<r_c, s:=f(r_c)oplus m_bright>
c=⟨rc,s:=f(rc)⊕mb⟩时，根据之前查询结果中随机串是否与挑战密文中随机串相同，分为两种情况：
- 当有相同随机串时，根据
r
r
r可以得到f
(
r
c
)
f(r_c)
f(rc)，m
b
=
f
(
r
c
)
⊕
s
m_b=f(r_c)oplus s
mb=f(rc)⊕s，但这种情况发生的概率q
(
n
)
/
2
n
q(n)/2^n
q(n)/2n是可忽略的； - 当没有相同随机串时，输出是随机串，相当于一次一密，成功概率=1/2；
- 当有相同随机串时，根据
-
Pr
[
D
F
k
(
⋅
)
(
1
n
)
=
1
]
=
Pr
[
P
r
i
v
K
A
,
Π
c
p
a
(
n
)
=
1
]
=
1
2
+
ε
(
n
)
.
Pr[D^{F_k(cdot)}(1^n)=1] = Pr[mathsf{PrivK}_{mathcal{A},Pi}^{mathsf{cpa}}(n) = 1] = frac{1}{2} + varepsilon(n).
Pr[DFk(⋅)(1n)=1]=Pr[PrivKA,Πcpa(n)=1]=21+ε(n).
-
Pr
[
D
f
(
⋅
)
(
1
n
)
=
1
]
=
Pr
[
P
r
i
v
K
A
,
Π
~
c
p
a
(
n
)
=
1
]
=
Pr
[
B
r
e
a
k
]
≤
1
2
+
q
(
n
)
2
n
.
Pr[D^{f(cdot)}(1^n)=1] = Pr[mathsf{PrivK}_{mathcal{A},tilde{Pi}}^{mathsf{cpa}}(n) = 1] = Pr[mathsf{Break}] le frac{1}{2} + frac{q(n)}{2^n}.
Pr[Df(⋅)(1n)=1]=Pr[PrivKA,Π~cpa(n)=1]=Pr[Break]≤21+2nq(n).
-
Pr
[
D
F
k
(
⋅
)
(
1
n
)
=
1
]
−
Pr
[
D
f
(
⋅
)
(
1
n
)
=
1
]
≥
ε
(
n
)
−
q
(
n
)
2
n
.
Pr[D^{F_k(cdot)}(1^n)=1] - Pr[D^{f(cdot)}(1^n)=1] ge varepsilon(n) - frac{q(n)}{2^n}.
Pr[DFk(⋅)(1n)=1]−Pr[Df(⋅)(1n)=1]≥ε(n)−2nq(n). 根据伪随机函数定义，
ε
(
n
)
varepsilon(n)
ε(n) 是可忽略的.
-
小结：通过规约将
A
mathcal{A}
A的不可区分实验成功的概率与
D
D
D的区分器实验输出1的概率建立等式；分析输入真随机函数预言机时
D
D
D输出1的概率（即不可区分实验成功概率）是1/2+一个可忽略函数；根据PRF的定义，输入伪随机函数预言机时
D
D
D输出1的概率（1/2+
ε
(
n
)
varepsilon(n)
ε(n)）与输入真随机函数预言机时
D
D
D输出1的概率（1/2）的差异时可忽略的。
-
-
CPA安全例题
-
E
n
c
k
(
m
)
=
P
R
G
(
k
∥
r
)
⊕
m
mathsf{Enc}_k(m) = PRG(k|r) oplus m
Enck(m)=PRG(k∥r)⊕m,r
r
r 是新的随机串。这是CPA安全的吗？ - 从PRF到CPA安全：变长消息
- 对于任意长度消息
m
=
m
1
,
…
,
m
ℓ
m = m_1, dots , m_{ell}
m=m1,…,mℓ，c
:
=
<
r
1
,
F
k
(
r
1
)
⊕
m
1
,
r
2
,
F
k
(
r
2
)
⊕
m
2
,
…
,
r
ℓ
,
F
k
(
r
ℓ
)
⊕
m
ℓ
>
c := left< r_1, F_k(r_1) oplus m_1, r_2, F_k(r_2) oplus m_2, dots, r_ell, F_k(r_ell) oplus m_ellright>
c:=⟨r1,Fk(r1)⊕m1,r2,Fk(r2)⊕m2,…,rℓ,Fk(rℓ)⊕mℓ⟩ - 推论：如果
F
F
F是一个 PRF，那么Π
Pi
Π 对任意长度消息是 CPA 安全的。 - 问题：这个方案有什么缺点？
- 有效性:
∣
c
∣
=
2
∣
m
∣
|c| = 2|m|
∣c∣=2∣m∣. 密文长度是明文长度的二倍，并且需要大量的真随机串。
-
伪随机排列PRP
-
伪随机排列（Pseudorandom Permutations）
-
为了提高对任意长度消息加密的效率，以及更高级的加密基础工具，学习伪随机排列PRP的概念；
-
双射 Bijection:
F
F
F 是一到一的（一个输入对应一个唯一输出）且满射（覆盖输出集中每个元素）；
-
排列 Permutation: 一个从一个集合到自身的双射函数；
-
带密钥的排列 Keyed permutation:
∀
k
,
F
k
(
⋅
)
forall k, F_k(cdot)
∀k,Fk(⋅)是排列；类似带密钥的函数；
-
F
F
F 是一个双射
⟺
F
−
1
iff F^{-1}
⟺F−1 是一个双射；函数和逆函数都是双射；
-
定义：一个有效的带密钥的排列
F
F
F 是PRP，如果对于任意PPT的区分器
D
D
D，
∣
Pr
[
D
F
k
(
⋅
)
,
F
k
−
1
(
⋅
)
(
1
n
)
=
1
]
−
Pr
[
D
f
(
⋅
)
,
f
−
1
(
⋅
)
(
1
n
)
=
1
]
∣
≤
n
e
g
l
(
n
)
left|Pr[D^{F_k(cdot),F_k^{-1}(cdot)}(1^n)=1] - Pr[D^{f(cdot),f^{-1}(cdot)}(1^n)=1]right| le mathsf{negl}(n)
Pr[DFk(⋅),Fk−1(⋅)(1n)=1]−Pr[Df(⋅),f−1(⋅)(1n)=1]
≤negl(n)
-
问题：一个PRP也是一个PRF吗？
-
-
PRP例题
- 对1比特的PRP、PRF的分析；
- 交换引理：如果
F
F
F 是一个 PRP 并且ℓ
i
n
(
n
)
≥
n
ell_{in} (n) ge n
ℓin(n)≥n，那么F
F
F 也是一个 PRF。- 一个随机排列和一个查表是不可取分的，PRP和随机排列不可取分，因此，PRP和查表是不可取分的。
-
操作模式概念（Modes of Operation）
- 操作模式是使用PRP或PRF来加密任意长度消息的方法；
- 操作模式是从PRP或PRF来构造一个PRG的方法；
- 将一个消息分成若干等长的块（分组，block），每个块以相似方式处理；
-
Electronic Code Book (ECB) 模式
- 在窃听者出现时，是否是不可区分的？
-
F
F
F 可以是任意PRF吗？
-
对ECB的攻击
- 为什么仍然可以识别企鹅？
-
Cipher Block Chaining (CBC) 模式
-
I
V
IV
IV初始向量，一个新的随机串； - 是CPA的吗？可并行化吗？F可以是任意PRF吗？
-
-
Output Feedback (OFB) Mode模式
- 是CPA安全吗？可并行化吗？F可以是任意PRF吗？
-
Counter (CTR) Mode模式
-
c
t
r
ctr
ctr是一个初始向量，并且逐一增加； - 是CPA安全吗？可并行化吗？F可以是任意PRF吗？
-
-
CTR模式是CPA安全
-
定理：如果
F
F
F是一个PRF，那么随机CTR模式是CPA安全的。
-
证明：其安全性与之前基于PRF的CPA安全证明类似，从PRF的伪随机假设规约到CPA安全加密方案。其中，对
c
t
r
ctr
ctr的安全性直觉在于，
c
t
r
ctr
ctr也是在加密前不可预测的，且每个块所用
c
t
r
ctr
ctr都是不同的；
-
当加密预言机是由真随机查表构成时，敌手多次访问加密预言机得到的
c
t
r
ctr
ctr序列与挑战密文的
c
t
r
ctr
ctr序列之间有重叠的概率
2
q
(
n
)
2
2
n
frac{2q(n)^2}{2^n}
2n2q(n)2是可以忽略的；若没有重叠，则相当于一次一密；
-
规约与之前证明基于PRF的CPA安全加密方案一样，证明过程也类似。
-
-
初始向量不应该可预测
- 如果
I
V
IV
IV是可预测的，那么CBC/OFB/CTR模式不是CPA安全的。 - 为什么？（作业）
- 在SSL/TLS 1.0中的漏洞：记录
#
i
#i
#i的I
V
IV
IV是上一个记录#
(
i
−
1
)
#(i-1)
#(i−1)的密文块。 - OpenSSL中API：需要用户输入
I
V
IV
IV，但I
V
IV
IV应在函数内实现。当I
V
IV
IV不充分随机时不安全。
- 如果
-
非确定性加密
- 有三种通用的实现CPA安全的非确定性加密方法：
- 随机化的：
r
r
r随机生成，如构造5；需要更多熵，长密文 - 有状态的：
r
r
r为计数器，如CTR模式；需要通信双方同步计数器 - 基于Nonce的：
r
r
r只用一次；需要保证只用一次，长密文
CCA安全加密方案
-
选择密文攻击 Chosen-Ciphertext Attacks (CCA)
-
CCA不可区分实验
P
r
i
v
K
A
,
Π
c
c
a
(
n
)
mathsf{PrivK}^{mathsf{cca}}_{mathcal{A},Pi}(n)
PrivKA,Πcca(n):
- 挑战者生成密钥
k
←
G
e
n
(
1
n
)
k gets mathsf{Gen}(1^n)
k←Gen(1n)；（为了下一步的预言机） -
A
mathcal{A}
A 被给予输入1
n
1^n
1n 和对加密函数E
n
c
k
(
⋅
)
mathsf{Enc}_k(cdot)
Enck(⋅)和解密函数D
e
c
k
(
⋅
)
mathsf{Dec}_k(cdot)
Deck(⋅)的预言机访问（oracle access）A
E
n
c
k
(
⋅
)
mathcal{A}^{mathsf{Enc}_k(cdot)}
AEnck(⋅) 和A
D
e
c
k
(
⋅
)
mathcal{A}^{mathsf{Dec}_k(cdot)}
ADeck(⋅)，输出相同长度m
0
,
m
1
m_0, m_1
m0,m1 ； - 挑战者生成随机比特
b
←
{
0
,
1
}
b gets {0,1}
b←{0,1}，将挑战密文c
←
E
n
c
k
(
m
b
)
c gets mathsf{Enc}_k(m_b)
c←Enck(mb) 发送给A
mathcal{A}
A； -
A
mathcal{A}
A 继续对除了挑战密文c
c
c之外的预言机的访问，输出b
′
b'
b′；如果b
′
=
b
b' = b
b′=b，则A
mathcal{A}
A成功P
r
i
v
K
A
,
Π
c
c
a
=
1
mathsf{PrivK}^{mathsf{cca}}_{mathcal{A},Pi}=1
PrivKA,Πcca=1，否则 0。
定义：一个加密方案是CCA安全的，如果实验成功的概率与1/2的差异是可忽略的。
- 挑战者生成密钥
-
-
理解CCA安全
-
在现实世界中，敌手可以通过影响被解密的内容来实施CCA。如果通信没有认证，那么敌手可以以通信参与方的身份来发送特定密文。下一页有具体真实案例。
-
CCA安全性意味着“non-malleability”（不可锻造性，即改变但不毁坏），不能修改密文来获得新的有效密文。
-
之前的方案中没有CCA安全，因为都不是不可锻造。
-
对基于PRF的CPA安全加密方案的CCA攻击：
-
A
mathcal{A}
A 获得挑战密文
c
=
<
r
,
F
k
(
r
)
⊕
m
b
>
c = left<r, F_k(r)oplus m_{b}right>
c=⟨r,Fk(r)⊕mb⟩，并且查询与
c
c
c只相差了一个翻转的比特的密文
c
′
c'
c′，那么
m
′
=
c
′
⊕
F
k
(
r
)
m' = c' oplus F_k(r)
m′=c′⊕Fk(r) 应该与
m
b
m_{b}
mb 除了什么之外都相同？（见下方的补充）
-
-
问题：上述操作模式也不是CCA安全的（作业）
-
由此，可以总结出CCA下敌手的常用策略：
- 修改挑战密文
c
c
c为c
′
c'
c′，并查询解密预言机得到m
′
m'
m′ - 根据关系，由
m
′
m'
m′来猜测被加密明文m
b
m_b
mb
- 修改挑战密文
-
补充
在这个情况下，
A
mathcal{A}
A 获得了挑战密文
c
=
<
r
,
F
k
(
r
)
⊕
m
b
>
c = left<r, F_k(r)oplus m_{b}right>
c=⟨r,Fk(r)⊕mb⟩ 并查询了一个只在一个比特上与
c
c
c 不同的密文
c
′
c'
c′。我们来分析一下
m
′
=
c
′
⊕
F
k
(
r
)
m' = c' oplus F_k(r)
m′=c′⊕Fk(r) 与
m
b
m_{b}
mb 的关系。
首先，我们明确
c
c
c 的构成：
-
c
c
c 包含两个部分：一个随机数r
r
r 和使用密钥k
k
k 的函数F
k
(
r
)
F_k(r)
Fk(r) 与明文m
b
m_{b}
mb 的异或结果。 - 因此，
c
=
<
r
,
F
k
(
r
)
⊕
m
b
>
c = left<r, F_k(r)oplus m_{b}right>
c=⟨r,Fk(r)⊕mb⟩。
现在，如果
A
mathcal{A}
A 查询了一个与
c
c
c 只在一个比特上不同的密文
c
′
c'
c′，那么
c
′
c'
c′ 也可以写成两部分，但其中一部分与
c
c
c 有一个比特的差异。这个差异可以在
r
r
r 部分，也可以在
F
k
(
r
)
⊕
m
b
F_k(r)oplus m_{b}
Fk(r)⊕mb 部分。
当
A
mathcal{A}
A 计算
m
′
=
c
′
⊕
F
k
(
r
)
m' = c' oplus F_k(r)
m′=c′⊕Fk(r) 时，他们实际上是在解开
F
k
(
r
)
⊕
m
b
F_k(r)oplus m_{b}
Fk(r)⊕mb 的异或操作。这是因为异或操作是可逆的，且当两次使用相同的值时会取消彼此的效果（即
A
⊕
B
⊕
B
=
A
A oplus B oplus B = A
A⊕B⊕B=A）。
因此，如果
c
′
c'
c′ 的变化发生在
F
k
(
r
)
F_k(r)
Fk(r) 部分，则
m
′
m'
m′ 将与
m
b
m_{b}
mb 完全相同，因为
F
k
(
r
)
F_k(r)
Fk(r) 部分的变化被异或操作取消了。但如果变化发生在
r
r
r 部分，则这个变化不会影响到
F
k
(
r
)
⊕
m
b
F_k(r)oplus m_{b}
Fk(r)⊕mb 部分，因此
m
′
m'
m′ 将与
m
b
m_{b}
mb 在一个比特上不同。
综上所述，
m
′
m'
m′ 与
m
b
m_{b}
mb 将在以下方面相同：
- 如果变化发生在
F
k
(
r
)
F_k(r)
Fk(r) 部分，那么m
′
m'
m′ 与m
b
m_{b}
mb 完全相同。 - 如果变化发生在
r
r
r 部分，那么m
′
m'
m′ 与m
b
m_{b}
mb 除了那个翻转的比特之外都相同。
填充预言机Padding-Oracle攻击真实案例
-
Padding-Oracle（填充预言机）攻击真实案例
- CAPTCHA服务商为Web网站提供验证用户是否为人类的服务。为此，一个CAPTCHA服务器与Web服务器间事先共享一个密钥
k
k
k，服务工作原理如下：- 当Web服务器验证用户是否为人类时，生成一个消息
w
w
w并以k
k
k加密，向用户发送一个密文E
n
c
k
(
w
)
Enc_k(w)
Enck(w)； - 用户将密文
E
n
c
k
(
w
)
Enc_k(w)
Enck(w)转发给CAPTCHA服务器；（可实施填充预言机攻击） - CAPTCHA服务器用密钥
k
k
k将密文解密，根据解密结果返回给用户信息：一个由w
w
w生成的图像，或者坏填充错误； - 用户根据图像获得
w
w
w 并将w
w
w 发送给Web服务器。
- 当Web服务器验证用户是否为人类时，生成一个消息
- 在第2步，当恶意用户可以利用CAPTCHA服务器会返回给用户坏填充错误这一漏洞，来实施填充错误攻击。
- CAPTCHA服务商为Web网站提供验证用户是否为人类的服务。为此，一个CAPTCHA服务器与Web服务器间事先共享一个密钥
-
Padding-Oracle（填充预言机）攻击
- 在PKCS #5 padding（填充）标准中，为了将一个消息的长度“填充”到块长度的整数倍，在最后一个块中填充
b
b
b个字节的b
b
b；必要时，添加一个哑块（dummy block，不包含消息的一个填充块）。存在一种攻击手段：当填充错误时，解密服务器返回一个“坏填充错误”，这相当于提供了一个解密预言机，最终可以获得整个明文； - 具体攻击原理：
- 更改密文（包含
I
V
IV
IV部分）并发送给解密服务器； - 一旦触发了“坏填充错误”，则说明对密文的更改导致了填充部分内容的更改；否则，对密文的更改导致了原明文部分的更改；
- 通过仔细修改密文来控制填充部分，从而获得消息长度和内容。
- 更改密文（包含
- 在PKCS #5 padding（填充）标准中，为了将一个消息的长度“填充”到块长度的整数倍，在最后一个块中填充
-
填充预言机攻击：获得消息长度
- 攻击的第一步判断消息是否为空：在单个块的CBC中，通过更改
I
V
IV
IV的首个字节，攻击者能够获知是否m
m
m是否为空。因为如果m
m
m是空的话，更改I
V
IV
IV首个字节将更改解密出的填充内容，解密服务器就会返回坏填充错误（1比特信息），具体分析如下：- 如果
m
m
m是空的，那么明文会添加一个哑块{
b
}
b
{b}^b
{b}b； - PRP的输入为
I
V
⊕
{
b
}
b
IVoplus {b}^b
IV⊕{b}b；设I
V
IV
IV的首个字节为x
x
x，则PRP的输入为(
x
⊕
b
)
∥
(
{
⋅
}
b
−
1
⊕
{
b
}
b
−
1
)
(x oplus b) | ({cdot}^{b-1} oplus {b}^{b-1})
(x⊕b)∥({⋅}b−1⊕{b}b−1)； - 将
I
V
IV
IV的首个字节从x
x
x改成y
y
y变为y
∥
(
{
⋅
}
b
−
1
)
y | ({cdot}^{b-1})
y∥({⋅}b−1)，不改变c
1
c_1
c1解密得到的PRP的输入不会变，而解密出的明文会改变为(
x
⊕
y
⊕
b
)
∥
{
b
}
b
−
1
(x oplus y oplus b) | {b}^{b-1}
(x⊕y⊕b)∥{b}b−1； - 上述明文首个字节一定不是
b
b
b，这是填充格式错误，会触发服务器返回错误； - 如果上面的尝试没有触发错误，那么说明消息非空；下一步，发现消息长度是否为1字节，方法与上一步一样，区别在于只改变
I
V
IV
IV的第2个字节；如此继续，获得消息的长度；（作业）
- 如果
- 攻击的第一步判断消息是否为空：在单个块的CBC中，通过更改
-
填充预言机攻击：获得消息内容
- 一旦获得消息的长度，也就知道了填充的长度
b
b
b，采用下面的方法来获得消息的最后一个字节内容，进而获得整个消息； - 更改密文中倒数第二块，来获得消息的最后一个字节
s
s
s； - 明文的最后一个块
m
l
a
s
t
=
⋯
s
∥
{
b
}
b
m_{last} = cdots s | {b}^{b}
mlast=⋯s∥{b}b，密文的倒数第二个块c
l
a
s
t
−
1
=
⋯
t
∥
{
⋅
}
b
c_{last-1} = cdots t | {cdot }^{b}
clast−1=⋯t∥{⋅}b； - 最后一块的PRP输入为
c
l
a
s
t
−
1
⊕
m
l
a
s
t
=
⋯
(
s
⊕
t
)
∥
(
{
b
}
b
⊕
{
⋅
}
b
)
c_{last-1} oplus m_{last} = cdots (s oplus t) | ({b}^b oplus {cdot }^{b})
clast−1⊕mlast=⋯(s⊕t)∥({b}b⊕{⋅}b)； - 敌手更改
c
l
a
s
t
−
1
c_{last-1}
clast−1 为c
l
a
s
t
−
1
′
=
⋯
u
∥
(
{
⋅
}
b
⊕
{
b
}
b
⊕
{
b
+
1
}
b
)
c_{last-1}' = cdots u | ({cdot }^{b} oplus {b}^{b} oplus {b+1}^{b})
clast−1′=⋯u∥({⋅}b⊕{b}b⊕{b+1}b)；其中，u
u
u是敌手猜测的某个字节； - 解密获得最后一块明文
m
l
a
s
t
′
=
c
l
a
s
t
−
1
⊕
m
l
a
s
t
⊕
c
l
a
s
t
−
1
′
=
⋯
(
s
⊕
t
⊕
u
)
∥
{
b
+
1
}
b
m'_{last} = c_{last-1} oplus m_{last} oplus c_{last-1}' = cdots (s oplus t oplus u)| { b+1 }^b
mlast′=clast−1⊕mlast⊕clast−1′=⋯(s⊕t⊕u)∥{b+1}b； - 如果没有返回坏填充错误，那么意味着填充了
b
+
1
b+1
b+1个字节的b
+
1
b+1
b+1，所以s
⊕
t
⊕
u
=
(
b
+
1
)
s oplus t oplus u = (b+1)
s⊕t⊕u=(b+1) ，而s
=
t
⊕
u
⊕
(
b
+
1
)
s = t oplus u oplus (b+1)
s=t⊕u⊕(b+1) 。
- 一旦获得消息的长度，也就知道了填充的长度
-
总结
- 略