C++算法学习心得七.贪心算法(1)

1.贪心算法理论基础

贪心的本质是选择每一阶段的局部最优,从而达到全局最优贪心算法并没有固定的套路,唯一的难点就是如何通过局部最优,推出整体最优。最好用的策略就是举反例,如果想不到反例,那么就试一试贪心吧

贪心算法一般分为如下四步:

  • 将问题分解为若干个子问题
  • 找出适合的贪心策略
  • 求解每一个子问题的最优解
  • 将局部最优解堆叠成全局最优解

只要想清楚 局部最优 是什么,如果推导出全局最优,其实就够了 

2.分发饼干(455题)

题目描述:

假设你是一位很棒的家长,想要给你的孩子们一些小饼干。但是,每个孩子最多只能给一块饼干。

对每个孩子 i,都有一个胃口值  g[i],这是能让孩子们满足胃口的饼干的最小尺寸;并且每块饼干 j,都有一个尺寸 s[j] 。如果 s[j] >= g[i],我们可以将这个饼干 j 分配给孩子 i ,这个孩子会得到满足。你的目标是尽可能满足越多数量的孩子,并输出这个最大数值。

示例  1:

  • 输入: g = [1,2,3], s = [1,1]
  • 输出: 1 解释:你有三个孩子和两块小饼干,3 个孩子的胃口值分别是:1,2,3。虽然你有两块小饼干,由于他们的尺寸都是 1,你只能让胃口值是 1 的孩子满足。所以你应该输出 1。

这里的局部最优就是大饼干喂给胃口大的,充分利用饼干尺寸喂饱一个,全局最优就是喂饱尽可能多的小孩

可以尝试使用贪心策略,先将饼干数组和小孩数组排序。

然后从后向前遍历小孩数组,用大饼干优先满足胃口大的,并统计满足小孩数量。

一个 index 来控制饼干数组的遍历,遍历饼干并没有再起一个 for 循环,而是采用自减的方式

 一定要 for 控制 胃口,里面的 if 控制饼干

class Solution {
public:
    //贪心算法,使用大饼干先满足大胃口的原则来实现
    int findContentChildren(vector<int>& g, vector<int>& s) {
        sort(g.begin(),g.end());//对胃口和饼干都进行排序
        sort(s.begin(),s.end());
        int index = s.size() - 1;//这里采用下标的形式来实现
        int result = 0;//定义结果
        //我们从后向前遍历,实现大饼干满足大胃口的原则
        for(int i = g.size() - 1;i >= 0;i--){
            //如果满足了条件,饼干下标减一,结果收集
            if(index >= 0 && s[index] >= g[i]){
                result++;
                index--;
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(nlogn)
  • 空间复杂度:O(1)
class Solution {
public:
    //贪心算法实现,小饼干喂小胃口的人,注意下标的选取就好
    int findContentChildren(vector<int>& g, vector<int>& s) {
        sort(g.begin(),g.end());
        sort(s.begin(),s.end());
        int index = 0,result = 0;
        for(int i = 0;i < s.size();i++){
            if(index < g.size() && g[index] <= s[i]){
                result++;
                index++;
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(nlogn)
  • 空间复杂度:O(1)

3. 摆动序列(376题)

题目描述:

如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替,则数字序列称为摆动序列。第一个差(如果存在的话)可能是正数或负数。少于两个元素的序列也是摆动序列。

例如, [1,7,4,9,2,5] 是一个摆动序列,因为差值 (6,-3,5,-7,3)  是正负交替出现的。相反, [1,4,7,2,5]  和  [1,7,4,5,5] 不是摆动序列,第一个序列是因为它的前两个差值都是正数,第二个序列是因为它的最后一个差值为零。

给定一个整数序列,返回作为摆动序列的最长子序列的长度。 通过从原始序列中删除一些(也可以不删除)元素来获得子序列,剩下的元素保持其原始顺序。

示例 1:

  • 输入: [1,7,4,9,2,5]
  • 输出: 6
  • 解释: 整个序列均为摆动序列。

贪心算法:

局部最优:删除单调坡度上的节点(不包括单调坡度两端的节点),那么这个坡度就可以有两个局部峰值

整体最优:整个序列有最多的局部峰值,从而达到最长摆动序列

实际操作上,其实连删除的操作都不用做,因为题目要求的是最长摆动子序列的长度,所以只需要统计数组的峰值数量就可以了(相当于是删除单一坡度上的节点,然后统计长度)

这就是贪心所贪的地方,让峰值尽可能的保持峰值,然后删除单一坡度上的节点

本题要考虑三种情况:

  1. 情况一:上下坡中有平坡
  2. 情况二:数组首尾两端
  3. 情况三:单调坡中有平坡

 本题异常情况的本质,就是要考虑平坡, 平坡分两种,一个是 上下中间有平坡,一个是单调有平坡

class Solution {
public:
    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() <= 1)return nums.size();
        int prediff = 0;//前一对差值
        int curdiff = 0;//当前一对差值
        int result = 1;//结果
        //这里注意,i遍历到nums.size()-1,因为默认数组最右边一个序列有1,
        for(int i = 0;i < nums.size()-1;i++){
            curdiff = nums[i+1] - nums[i];//当前一对差值计算
            //出现波动,就会记录
            if((prediff <= 0 && curdiff > 0)||(prediff >= 0 && curdiff < 0)){
                result++;//结果改变
                prediff = curdiff;//只有摆动变化记录更改prediff值
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

动态规划:

当前考虑的这个数,要么是作为山峰(即 nums[i] > nums[i-1]),要么是作为山谷(即 nums[i] < nums[i - 1])。

  • 设 dp 状态dp[i][0],表示考虑前 i 个数,第 i 个数作为山峰的摆动子序列的最长长度
  • 设 dp 状态dp[i][1],表示考虑前 i 个数,第 i 个数作为山谷的摆动子序列的最长长度

则转移方程为:

  • dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[j][1] + 1),其中0 < j < inums[j] < nums[i],表示将 nums[i]接到前面某个山谷后面,作为山峰。
  • dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[j][0] + 1),其中0 < j < inums[j] > nums[i],表示将 nums[i]接到前面某个山峰后面,作为山谷。

初始状态:

由于一个数可以接到前面的某个数后面,也可以以自身为子序列的起点,所以初始状态为:dp[0][0] = dp[0][1] = 1

class Solution {
public:
    int dp[1005][2];
    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
        memset(dp,0,sizeof dp);
        dp[0][0] = dp[0][1] = 1;
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            dp[i][0] = dp[i][1] = 1;
            for(int j = 0;j < i;j++){
                if (nums[j] > nums[i]) dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[j][0] + 1);
            }
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[j] < nums[i]) dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[j][1] + 1);
            }
        }
        return max(dp[nums.size() - 1][0],dp[nums.size() - 1][1]);
    }
};
  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n)

4.最大子序和(53题)

题目描述:

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

示例:

  • 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
  • 输出: 6
  • 解释:  连续子数组  [4,-1,2,1] 的和最大,为  6。

暴力解法:第一层 for 就是设置起始位置,第二层 for 循环遍历数组寻找最大值

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int result = INT32_MIN;
        int count = 0;
        for(int i = 0;i < nums.size();i++){
            count = 0;
            for(int j = i;j < nums.size();j++){
                count += nums[j];
                result = count > result ? count : result;
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(1)

贪心算法:

局部最优:当前“连续和”为负数的时候立刻放弃,从下一个元素重新计算“连续和”,因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。

全局最优:选取最大“连续和”

局部最优的情况下,并记录最大的“连续和”,可以推出全局最优

区间的终止位置,其实就是如果 count 取到最大值了,及时记录下来了,区间终止位置立刻记录

class Solution {
public:
    //
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int result = INT32_MIN;//定义一个最小值
        int count = 0;//这个是总和
        for(int i = 0;i < nums.size();i++){
            count += nums[i];//计算总和
            if(count > result){
                result = count;//如果总和大于结果就去更新,更新最大值
            }
            if(count < 0){
                count = 0;//重置最大子序列初始位置,小于零就重新定位
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

 动态规划:

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0)return 0;
        vector<int>dp(nums.size(),0);//dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);//状态转移公式
            if(dp[i] > result)result = dp[i];//result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

5.买卖股票的最佳时机 II(122题)

题目描述: 

给定一个数组,它的第  i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票)。

注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

  • 输入: [7,1,5,3,6,4]
  • 输出: 7
  • 解释: 在第 2 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 3 天(股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。随后,在第 4 天(股票价格 = 3)的时候买入,在第 5 天(股票价格 = 6)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

贪心算法: 

假如第 0 天买入,第 3 天卖出,那么利润为:prices[3] - prices[0]。

相当于(prices[3] - prices[2]) + (prices[2] - prices[1]) + (prices[1] - prices[0])。

此时就是把利润分解为每天为单位的维度,而不是从 0 天到第 3 天整体去考虑,收集正利润的区间,就是股票买卖的区间,而我们只需要关注最终利润,不需要记录区间

class Solution {
public:
    //把整个利润去拆分成每一个利润的和形式,取最大利润就是求所有正利润就好
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int result = 0;
        //这里注意i的取值从1开始取
        for(int i = 1;i < prices.size();i++){
            result += max(prices[i] - prices[i-1],0);//两个位置的价格差值,和0对比求得正利润即可
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

动态规划:

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        // dp[i][1]第i天持有的最多现金
        // dp[i][0]第i天持有股票后的最多现金
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>>dp(n,vector<int>(2,0));
        dp[0][0] -= prices[0];// 持股票
        for(int i = 1;i < prices.size();i++){
            dp[i][0] = max(dp[i-1][1] - prices[i],dp[i-1][0]);
            // 第i天持股票所剩最多现金 = max(第i-1天持股票所剩现金, 第i-1天持现金-买第i天的股票)
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0] + prices[i]);
            // 第i天持有最多现金 = max(第i-1天持有的最多现金,第i-1天持有股票的最多现金+第i天卖出股票)
        }
        return max(dp[n-1][0],dp[n-1][1]);
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

 总结:

贪心算法理论基础:每一阶段的局部最优,得到全局最优的解决方法,无固定套路

分发饼干:大饼干喂胃口大的孩子,全局最优就是需要喂饱更多的小孩,先给饼干和小孩胃口排序,然后从后向前遍历小孩数组,用大饼干来喂饱大胃口小孩,并且统计数量,注意遍历饼干技巧,可以采用下标来自减方式实现分发饼干,这里的Index从后向前,可以大饼干喂大胃口或者小饼干喂小胃口

摆动序列:是指两个相邻的元素之差是正负交替的一组序列,使用贪心算法来实现,注意两端是需要算做一个,我们需要记录前一个和当前的差值,条件判断注意需要确保两个差值的正负不同号即可,pre=cur是关键,进行一组就是关键,

最大子序和:贪心算法这里需要注意一个细节我们最开始需要定义一个最小值,再定义每个数组和去,思想逻辑是如果数组和是小于0我们抛弃这个数组和置为0,还要更新最大数组和的一个操作

买卖股票的最佳时机II:我们只要想到利润可以拆分成多个利润相加的模式就可以解决,只要正利润就好,得到最后想要的结果,可以使用动态规划来实现。

本图文内容来源于网友网络收集整理提供,作为学习参考使用,版权属于原作者。
THE END
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