数据结构 Java数据结构 二叉树
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二叉树
1. 树形结构
1.1 概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
- 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的。
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点孩
子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林
1.2 树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {
int value;// 树中存储的数据
Node firstChild;// 第一个孩子引用
Node nextBrother;// 下一个兄弟引用
}
1.3 树的应用
文件系统管理（目录和文件）
2. 二叉树
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉
树组成。
二叉树的特点：
1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
2.2 二叉树的基本形态
一般二叉树都是由以下几个基本形态结合而形成的。
2.3 两种特殊的二叉树
- 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.4 二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2i-1 (i>0)个结点
- 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2k-1(k>=0)
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中 500 个叶子节点， 500 个非叶子节点， 1 个节点只有左孩子，0个只有右孩子。
2.5 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储 存储的是完全二叉树
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
// 孩子表示法
class Node {
int val;// 数据域
Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val;// 数据域
Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
2.6 二叉树的遍历
如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
2.7 二叉树的基本操作
第一步: 首先这里我们用穷举法先来创建一个二叉树来测试这些操作.
package BinaryTree;
class TreeNode{
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val){
this.val = val;
}
}
public class BinaryTree {
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
E.right = H;
C.left = F;
C.right = G;
return A;
}
}
此时的二叉树图形如图:
第二步: 用代码实现3种遍历二叉树的方法.
// 前序遍历
void preOrderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val + " ");
preOrderTraversal(root.left);
preOrderTraversal(root.right);
}
// 中序遍历
void inOrderTraversal(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
inOrderTraversal(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrderTraversal(root.right);
}
// 后序遍历
void postOrderTraversal(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
postOrderTraversal(root.left);
postOrderTraversal(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}
第三步: 两种方法求结点个数
// 遍历思路-求结点个数
static int size = 0;
void getSize1(TreeNode root){
if(root == null){
return;
}
size++;
getSize1(root.left);
getSize1(root.right);
}
// 子问题思路-求结点个数
int getSize2(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
return getSize2(root.left) + getSize2(root.right) + 1;
}
第四步: 两种方法求叶子结点的个数
// 遍历思路-求叶子结点个数
static int leafSize = 0;
void getLeafSize1(TreeNode root){
if(root == null){
return ;
}
if(root.left == null && root.right==null){
leafSize++;
}
getLeafSize1(root.left);
getLeafSize1(root.right);
}
// 子问题思路-求叶子结点个数
int getLeafSize2(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
if(root.left == null && root.right ==null){
return 1;
}
return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
}
第五步: 求第 k 层结点个数
int getKLevelSize(TreeNode root,int k){
if(root == null){
return 0;
}
if(k == 1){
return 1;
}
return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k-1) ;
}
第六步: 查找val所在的位置
// 查找 val 所在结点，没有找到返回 null
// 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
// 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找
TreeNode find(TreeNode root, char val){
if(root == null){
return null;
}
if(root.val == val){
return root;
}
TreeNode ret = find(root.left,val);
if(ret != null){
return ret;
}
ret = find(root.right,val);
if(ret != null){
return ret;
}
return null;
}
第七步: 获取二叉树的高度
// 获取二叉树的高度
int getHeight(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
第八步: 运行测试结果
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.print("前序遍历结果: ");
binaryTree.preOrderTraversal(root);
System.out.println();
System.out.print("中序遍历结果: ");
binaryTree.inOrderTraversal(root);
System.out.println();
System.out.print("后序遍历结果: ");
binaryTree.postOrderTraversal(root);
System.out.println();
binaryTree.getSize1(root);
System.out.println("结点数: "+BinaryTree.size);
int ret = binaryTree.getSize2(root);
System.out.println("结点数: "+ret);
binaryTree.getLeafSize1(root);
System.out.println("叶子节点数: "+BinaryTree.leafSize);
int ret1 = binaryTree.getLeafSize2(root);
System.out.println("叶子节点数: "+ret1);
int ret2 = binaryTree.getKLevelSize(root,3);
System.out.println("求k层节点数: "+ret2);
TreeNode b= binaryTree.find(root,'H');
System.out.println(b.val);
System.out.println("求二叉树的深度: "+binaryTree.getHeight(root));
}
运行结果:
2.8 层序遍历
设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
a) 层序遍历代码实现:
// 层序遍历
void levelOrderTraversal(TreeNode root){
if(root == null) return ;
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()){
TreeNode top = queue.poll();
System.out.print(top.val+" ");
if(top.left != null)
queue.offer(top.left);
if(top.right != null)
queue.offer(top.right);
}
System.out.println();
}
b) 判断一棵树是不是完全二叉树
方法一思路:
1. 将树按照层序遍历的方法,放入队列中,不同的是将左右节点都放入队列中,不论节点是否为空都放入
2. 循环取出队首元素,如果队首为null就结束循环.
3. 如果此时队列不为空.
①队列还有节点,那么就不是完全二叉树
②队列全是null,那么就是完全二叉树.
4. 循环结束那么就是true;
代码实现:
boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
if (root == null) return true;
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode top = queue.poll();
//左子树 和 右子树 都放入队列(不论是不是null)
if (top != null) {
queue.offer(top.left);
queue.offer(top.right);
} else {
//如果队首为空就跳出循环
break;
}
}
//如果队不为空,说明是因为break结束的循环.那么就需要判断队里的元素
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.peek();
//如果队首为空,就出队
if (cur == null){
queue.poll();
}else {
//遇到不为空的节点就表示不是完全二叉树.
return false;
}
}
//队空既为true;
return true;
}
方法二思路:
1. 观察完全二叉树的图形我们可以看出来,每个节点要么有2个子节点,要么没有节点,要么就只有一个左节点没有右节点.
2. 遍历判断
①如果左子树和右子树都不为空,就入队.
②如果左子树存在 右子树不存在,那么进行第二个判断.
③如果左子树不存在 右子树存在,那么直接false
④如果左子树右子树都不存在,那么也进入第二个判断.
3. 第二个判断,判断是否接下来的左子树和右子树都为空,如果不为空,就是false;一直为空就是true;
代码实现:
boolean isCompleteTree1(TreeNode root) {
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
boolean isComplete = true;
while(!queue.isEmpty()){
TreeNode top = queue.poll();
if(isComplete) {
//1.都不为空 入队
if (top.left != null && top.right != null) {
queue.offer(top.left);
queue.offer(top.right);
} else if (top.left != null && top.right == null) {
//2.左子树不为空,右子树为空,进入第二个判断
isComplete = false;
queue.offer(top.left);
} else if (top.left == null && top.right != null) {
//3.左子树为空,右子树不为空,不符合完全二叉树概念false
return false;
} else {
//4.左右子树都为空,进入第二个判断
isComplete = false;
}
}else {
//第2判断
//如果后面的节点还有子树,那就不符合完全二叉树概念 false
if(top.left != null || top.right != null){
return false;
}
}
}
//循环遍历结束,那就是满足条件,返回true;
return true;
}
2.9 前中后序的非递归实现
①前序遍历 (非递归)
// 前序遍历
void preOrderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) return;
TreeNode cur = root;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
while (cur != null || !stack.empty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val+" ");
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
cur = top.right;
}
}
②中序遍历 (非递归)
// 中序遍历
void inOrderTraversal(TreeNode root){
if(root == null) return ;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while(cur != null || !stack.empty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
System.out.print(top.val + " ");
cur = top.right;
}
}
③后序遍历 (非递归)
// 后序遍历
void postOrderTraversal(TreeNode root){
if(root == null)
return;
TreeNode cur = root;
TreeNode pre = null;//用来指向上一个被打印的元素
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
while(cur != null || !stack.empty()){
while(cur != null){
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
cur = stack.peek();
if(cur.right == null || pre == cur.right ){
stack.pop();
System.out.print(cur.val+" ");
pre = cur;
cur = null;
}else {
cur = cur.right;
}
}
}
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THE END
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