二、计算机就是数学

什么是数学

引子

在几年前,我曾经带过一个小同学。在跟他聊到一个具体业务时,我总感觉他的数据结构非常的差。随着深入的沟通,我发现他少了一个非常重要的sense,就是没有认识(意识)到数学概念。

比如,他的口头禅是“链表在C++里面是这么写的”。每次我要反驳、强调:“链表跟C++没有关系。”

在意识到前面提到的sense问题后,我问了他一个超级简单的问题:
1+1=2,跟一颗苹果加一颗苹果等于两颗苹果,有什么区别?
他支支吾吾说不上来了。

1+1=2和两颗苹果的区别

答案是简单的,很多时候却是不被意识到的。

那就是 1+1=2 是数学而不是具体问题,两颗苹果是具体问题而不是数学。

数学,是形式科学,而不是自然科学。它是一种高度抽象化的概念,无论是代数、几何、基础数学、高等数学等等,我们都可以理解成是某种特定规则下的游戏。
他并不直接解决具体的问题,但是具体的问题可以使用它来解决(玩数学建模的同学打了个喷嚏)。

1+1=2 就是这样一个数学的游戏,是自然数相加的法则。

一颗苹果加一颗苹果,等于两颗苹果,是我们使用数学来带入现实世界中的结果。除了两颗苹果,同一个数学法则,还可以套用到无限多的地方。比如两个小朋友,两个雪梨,两个国家等等。

1+1=2始终是这个1+1,它很高冷,它很唯一,它不care 你把它的 1 对应到什么现实的东西。但是一旦对应起来,那么按照它的玩法,结果就是与1同等概念个数的2。

我们可以创造自己的数学

基于数学并不是客观的自然科学而是一个设定游戏,我们很容易有一个疑问:那1+1可以不等于2吗?

答案当然是可以的,但是自洽的系统从来都是一个终极的难题,如果 1+1 不等于2,那么就很难自洽后续非常多的运算。
随便举个例子,我们设定 1+1 =3,那么1+1+1 = 4,我们就会得到 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 3 = 6, 6 - 4 = 2 = 1(多出来的1)的结论,这显然是不自洽的。

如果不考虑自洽,我们当然可以自己给出自己的定义,而且自己的定义并不会由客观世界来评判对错。

例如中医常用的阴阳五行学说,就可以看作是一个自洽的“数学”,但并不一定与客观世界相符。

这也是数学并不是自然科学的感性结论由来。

为什么需要数学游戏

数学是人类抽象思考、行为预测进化出来的最重要、最尖端的一个产物。

它的抽象使得人类对事物有了认知方法论,推动了人类社会和科学的后续发展。

就像前面的两颗苹果,我们在未来遇到一个素未谋面的事物时,我们也能知道一个事物加上一个事物,等于两个事物,就如 1 + 1 = 2一样。

数学使得我们的认知能力,超越了时空,突破了物理。一维、二维、三维、更高维度,我们的思想都能够尽情的运动,不受束缚。

(*歪门邪说:思想动起来了,就有质量了,有质量了就存在了,所以我思故我在)

代数的引出

前面的思考已经能让我们得出一个结论:数学游戏跟具体某个事物无关。

于是在描述这些规则的时候,就需要一个与事物无关的“别名”、“代号”。这些代号就是代数里的 a、b、x、y、z以及一堆希腊字母等等了。

比如,大多数人在小学时,会遇到鸡兔同笼问题。这个问题也可以是龟人同笼、鸟猪同笼等等,只要满足一个物种两只脚,一个物种四只脚就是同一个问题。

显然在解决这类问题时,带入鸡或者其他的具体事物是不合理的,会加入过度无意义的元素(比如我小时候做这个奥数题时,脑袋里都是鸡鸡的画面),也就失去了数学真正的本质。

所以x、y出来了。2x = 4y,就能描述所有的这类问题。我们关注的再也不是鸡鸭鱼鹅,而是简单的记号。

这些记号不仅仅能代表现实的事物,甚至能代表特定的“占位”,而更加脱离了客观事物的桎梏。

这些记号的出现,代表人类第一次将数学哲学从朴素逻辑里彻底的剥离出来。数学家做为一个专注于研究这些代号游戏的职业出现了。

代数可能是现代科学孕育的开始

对于为什么科学诞生在西方,而不是诞生在东方的问题,各种推论由来已久,说法不一。

我个人认为,代数在希腊出现很可能就注定了科学要在这里诞生的结局。

古代中国一直没有突破代数、运算符等,因而数学并没有大发展。当然我们也诞生了祖冲之等数学家,《九章算术》等数学书籍,我依然觉得这只能说明我们古人的智商是在线的,但在哲学上,古代的中国并没有完整的将数学剥离的很好,数学革命并不彻底。

数学革命不彻底带来的是各种科目的落后,比如力学、建筑学。例如我国古建用到的柱子特别多,而同时期西方建筑就能够巧妙的制造少用柱子的结构,这种差距就是在几何、力学上的落后的体现。如果没有近代革命,这个落后可能是持续的,直至有数学的革命。

当然数学革命也不是独立出现的,并不会空降到某个民族、地域而让这里的人灵光一闪,其出现的背后也有着深刻的唯物主义原因,比如宗教信仰对人的思想的影响问题,这里就不展开了。

无论如何,代数很可能就是现代科学孕育的开始。

一些发散的义务教育感慨

我记得我上四年级的时候,头一次接触了方程式。接触的时候对它们非常抵触,因为我觉得它并不是“从原理性理解世界”的方法(因为这些代号我怎么看都不像是真实存在的东西)。

当时我将疑问跟我的数学启蒙老师说了,可惜的是限于小镇教育水平的问题,老师也未能将我的心结解开。

这种苦恼一直伴随着我上高中才解开,但求学的年龄已经过半,不得不说是一种可惜。

也许对孩子而言,在小学第一次接触方程式的时候就能跟他们解释清楚,能够促进他们对数学更坚实的理解。

计算机为什么是数学

计算机只是 0 1 吗

提到计算机,很多人包括计算机科班的学生,第一反应是电信号 0 1、二进制等。但计算机的本质却并非如此。

可以说大家脑海里的计算机其实应该是计算机的一个特化,正如前面提到的数学。

好了,不卖关子的说,现代一般意义上的计算机的本质,其实是 True、False 的布尔值运算。只不过大家在使用这门数学来解决了现实中的问题,电信号 1 对应 True,电信号 0 对应了 False。并用门电路特化了布尔值运算。

布尔值又是怎么回事呢?

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THE END
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