凯利公式及其推导过程

问题描述

若有一个游戏，有40%的概率胜出，赔率为3，净赔率为2；输的概率为0.6，本金全输掉。那么赌客应每次投注多少百分比的本金，在进行N（大数）次游戏后，资金的期望值最高？

凯利公式

f=（pb-q)/b

其中，f为现有资金应进行下次投注的比例；p为赢的概率，q为输的概率，b为净赔率。

推导过程

设本金为C，投资比例为f，那么投资一次之后本金会发生变化。

如果投资成功，本金变为

如果投资失败，本金变为

设p为赢的概率，那么投资N次之后本金变为

想要求投资N次之后本金的最大值时f的取值，我们可以对f求导数，导数等于0的点即为函数的极值点，也就有可能是我们要求的。如果其满足在这个点的左侧导数大于0，右侧导数小于0的情况下。也就是说，若在此极值点存在二阶导数，在此点时二阶导数为负数。 

接下来我们就通过其一阶导数等于0，且其二阶导数小于0来寻找极大值点。

直接求导数不好求，可以对其取对数，因为对数函数是增函数，所以求它的最大值，也就等于是求它的对数函数的最大值。

对其取对数，得：

对f求导，得到一阶导数为：

令其等于0，解得：

对f求导，得到二阶导数为：

可以看出在0<p<1时，二阶导数恒为负数，即其一阶导数在此定义域内是个减函数。原函数在一阶导数为0的点为极大值点。