凯利公式及其推导过程

问题描述

若有一个游戏,有40%的概率胜出,赔率为3,净赔率为2;输的概率为0.6,本金全输掉。那么赌客应每次投注多少百分比的本金,在进行N(大数)次游戏后,资金的期望值最高?

凯利公式

f=(pb-q)/b

其中,f为现有资金应进行下次投注的比例;p为赢的概率,q为输的概率,b为净赔率。

推导过程

设本金为C,投资比例为f,那么投资一次之后本金会发生变化。

如果投资成功,本金变为C*left ( 1+b*f right )

如果投资失败,本金变为C*left ( 1-f right )

设p为赢的概率,那么投资N次之后本金变为C*left ( 1+b*f right )^{N*p}*left ( 1-f right )^{N*left (1-p right )}

想要求投资N次之后本金的最大值时f的取值f^{*},我们可以对f求导数,导数等于0的点即为函数的极值点,也就有可能是我们要求的f^{*}。如果其满足在这个点的左侧导数大于0,右侧导数小于0的情况下。也就是说,若在此极值点存在二阶导数,在此点时二阶导数为负数。 

接下来我们就通过其一阶导数等于0,且其二阶导数小于0来寻找极大值点。

直接求导数不好求,可以对其取对数,因为对数函数是增函数,所以求它的最大值,也就等于是求它的对数函数的最大值。

对其取对数,得:lnC+ left ( N*p right )lnleft ( 1+b*f right )+ N*left ( 1-p right )*lnleft ( 1-f right )

对f求导,得到一阶导数为:N*left [ frac{b*p}{1+b*f}+frac{left ( 1-p right )*left ( -1 right )}{1-f} right ]

令其等于0,解得:f^{*}=frac{p*b-left ( 1-p right )}{b}

对f求导,得到二阶导数为:N*left [ frac{-b^{2}p}{left ( 1+bf^{2} right )} +frac{-left ( 1-p right )}{left ( 1-f right )^{2}}right ]

可以看出在0<p<1时,二阶导数恒为负数,即其一阶导数在此定义域内是个减函数。原函数在一阶导数为0的点为极大值点。

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THE END
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