期权希腊值之vega

前言

前三篇文章介绍了期权希腊值的delta，theta，gamma。在这篇文章中，我们将对期权的vega进行介绍。

一、期权的vega

在计算希腊值时，通常将波动率看作隐含波动率，这与BS模型中的常数波动率是不同的。在实际市场中，波动率往往会随着时间变化，这就意味着期权价格会随着波动率的变化而变化。

期权的vega正是描述期权价值变化与标的资产价格变化的比率。

如果一个交易组合的vega绝对值很大，此交易组合的价值会对波动率的细微变化非常敏感，当一个交易组合的vega值为0时，资产价格波动率的变化会对交易组合价值的影响很小。

二、vega与标的资产价格的关系

1.例子

考虑一份无股息的看涨期权合约，股票价格为49元，执行价格为50元，无风险利率为5%，期限为20周，隐含波动率为20%，则期权的Vega为12.1

from matplotlib import cm
import math
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as p3

# 定义标准正态分布的概率密度函数
def dN(x):
    '''标准正态分布的概率密度函数公式'''
    return math.exp(-0.5*x**2)/math.sqrt(2*math.pi)
def N(d):
    '''计算概率密度函数'''
    return quad(lambda x:dN(x),-20,d,limit=50)[0]
def d1f(St, K, t, T, r, sigma):
    '''BS模型中的d1'''
    d1=(math.log(St/K)+(r+0.5*sigma**2)*(T-t))/(sigma*math.sqrt(T-t))
    return d1

# 定义看涨期权和看跌期权的vega
def BSM_vega(St, K, t, T, r, sigma):
    ''' Black-Scholes-Merton GAMMA of European call/put option.

    Parameters
    ==========
    St : float
        stock/index level at time t
    K : float
        strike price
    t : float
        valuation date
    T : float
        date of maturity/time-to-maturity if t = 0; T > t
    r : float
        constant, risk-less short rate
    sigma : float
        volatility

    Returns
    =======
    vega : float
        European call option GAMM
    '''
    d1 = d1f(St, K, t, T, r, sigma)
    vega=St*math.sqrt((T-t))*dN(d1)
    return vega

St=49
K=50
r=5/100
T=0.3846
t=0
sigma=0.2
vega=BSM_vega(St, K, t, T, r, sigma)
print('看涨期权的Vega值为：',round(vega,2))

看涨期权的Vega值为： 12.11

2.vega与St之间的关系

price=np.linspace(1.2,5.6,50)
K1=2.6
K2=2.7
K3=2.8
K4=2.9
r=5/100
T=1
t=0
sigma=0.2
vega_0=[BSM_vega(St, K1, t, T, r, sigma) for St in price]
vega_1=[BSM_vega(St, K2, t, T, r, sigma) for St in price]
vega_2=[BSM_vega(St, K3, t, T, r, sigma) for St in price]
vega_3=[BSM_vega(St, K4, t, T, r, sigma) for St in price]
plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(price,vega_0,label='k=2.6')
plt.plot(price,vega_1,label='k=2.7')
plt.plot(price,vega_2,label='k=2.8')
plt.plot(price,vega_3,label='k=2.9')
plt.xlabel('stock price')
plt.ylabel('option vage value')
plt.legend()
plt.show()

从图中可以看出，vega>0,平价期权的 Vega 较大。

在其他情况相同时，平价期权的vega大于实值或者虚值期权的Vega。

随着行权价的增加，vega逐渐向右移动，宽幅越大且峰值越高。当期权价格与行权价趋近时，Vega趋于峰值。

三、vega与到期期限之间的关系

St=2.7
K1=2.6
K2=2.7
K3=2.8
K4=2.9
r=5/100
T=np.linspace(0.1,1,100)
t=0
sigma=0.2
vega_0=[BSM_vega(St, K1, t, T, r, sigma) for T in T]
vega_1=[BSM_vega(St, K2, t, T, r, sigma) for T in T]
vega_2=[BSM_vega(St, K3, t, T, r, sigma) for T in T]

plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(T,vega_0,label='k=2.6')
plt.plot(T,vega_1,label='k=2.7')
plt.plot(T,vega_2,label='k=2.8')

plt.xlabel('T')
plt.ylabel('option vage value')
plt.legend()
plt.show()

从图中可以看出，其他参数相同时，剩余期限越长，Vega 越大。

四、vega与标的资产价格、到期期限之间的关系

def plot_greeks(function, greek):
    # Model Parameters
    St =2.7  # 50ETF value
    
    t = 0.0  # valuation date
    
    r = 0.015  # risk-less short rate
    sigma = 0.2  # volatility

    # Greek Calculations
    tlist = np.linspace(0.01, 1, 50)
    klist = np.linspace(2.1, 3.6, 50)
    V = np.zeros((len(tlist), len(klist)), dtype=np.float)
    for j in range(len(klist)):
        for i in range(len(tlist)):
            V[i, j] = function(St, klist[j], t, tlist[i], r, sigma)

    # 3D Plotting
    x, y = np.meshgrid(klist, tlist)
    fig = plt.figure(figsize=(9, 5))
    plot = p3.Axes3D(fig)
    plot.plot_surface(x, y, V,cmap='rainbow')
    plot.set_xlabel('strike $K$')
    plot.set_ylabel('maturity $T$')
    plot.set_zlabel('%s(K, T)' % greek)

plot_greeks(BSM_vega, vega)

从图中可以看出，vega数值随着到期期限的增加而增加，但是vega的数值会随着标的资产价格从平价变为价内或者价外而减小。

总结

本章介绍了期权希腊值的Vega，并且应用python进行了量化。