【数据结构与算法】之深入解析“石子游戏VI”的求解思路与算法示例

一、题目要求

• Alice 和 Bob 轮流玩一个游戏，Alice 先手，一堆石子里总共有 n 个石子，轮到某个玩家时，他可以移出一个石子并得到这个石子的价值。Alice 和 Bob 对石子价值有不一样的的评判标准，双方都知道对方的评判标准。
• 给你两个长度为 n 的整数数组 aliceValues 和 bobValues，aliceValues[i] 和 bobValues[i] 分别表示 Alice 和 Bob 认为第 i 个石子的价值。
• 所有石子都被取完后，得分较高的人为胜者，如果两个玩家得分相同，那么为平局，两位玩家都会采用 最优策略 进行游戏。
• 请你推断游戏的结果，用如下的方式表示：
• • 如果 Alice 赢，返回 1；
• • 如果 Bob 赢，返回 -1；
• • 如果游戏平局，返回 0。
• 示例 1：

输入：aliceValues = [1,3], bobValues = [2,1]
输出：1
解释：
如果 Alice 拿石子 1 （下标从 0开始），那么 Alice 可以得到 3 分。
Bob 只能选择石子 0 ，得到 2 分。
Alice 获胜。

• 示例 2：

输入：aliceValues = [1,2], bobValues = [3,1]
输出：0
解释：
Alice 拿石子 0 ， Bob 拿石子 1 ，他们得分都为 1 分。
打平。

• 示例 3：

输入：aliceValues = [2,4,3], bobValues = [1,6,7]
输出：-1
解释：
不管 Alice 怎么操作，Bob 都可以得到比 Alice 更高的得分。
比方说，Alice 拿石子 1 ，Bob 拿石子 2 ， Alice 拿石子 0 ，Alice 会得到 6 分而 Bob 得分为 7 分。
Bob 会获胜。

二、求解算法

① 贪心算法

• 假设只有两个石头，对于 a， b 的价值分别是 a1，a2，b1，b2：
• • 第一种方案是 A 取第一个，B 取第二个，A 与 B 的价值差是 c1 = a1 - b2；
• • 第二种方案是 A 取第二个，B 取第一个，A 与 B 的价值差是 c2 = a2 - b1；
• 那么这两种方案对于 A 来说哪一种更优，就取决于两个方案的价值差的比较。
• 记 c = c1 - c2 = （a1 - b2） - (a2 - b1) = (a1 + b1) - (a2 + b2)，如果 c > 0 那么方案一更优，如果 c == 0，那么两种方案价值一样，如果 c < 0 ，那么方案二更优。
• 比较两个方案的优劣就如同比较 a1 + b1 与 a2 + b2 的优劣，归纳一下就是比较每个下标 i 的 a[i] + b[i] 的优劣，所以贪心的策略：将两组石头的价值合并，每次取价值最大的那一组。
• 合并 aliceValues 与 bobValues 的数组，按最大价值从大到小排列，Alice 先选，Bob 后选，偶数下标就标称 Alice 选取的石头的总价值，Bob 选的则是奇数下标的石子，比较两个总和。
• C++ 示例：

class Solution {
public:
    int stoneGameVI(vector<int>& aliceValues, vector<int>& bobValues) {
		vector<pair<int, int>> mp; // 记录价值和以及下标
		int n = aliceValues.size();
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			int dis = aliceValues[i] + bobValues[i];
			mp.emplace_back(dis, i);
		}
		sort(mp.rbegin(), mp.rend()); // 从大到小排序
		int sum1 = 0, sum2 = 0;
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			if(i % 2 == 0) sum1 += aliceValues[mp[i].second];// 偶数下标a来取
			else sum2 += bobValues[mp[i].second];  		  	 // 奇数下标b来取
		}
		if(sum1 == sum2) return 0; // 比较结果
		else if(sum1 > sum2) return 1;
		else return -1;
    }
};

② 数学推理

• 双赢才是赢，不仅 Alice 要认为某块石头的价值大，Bob 也要认为的时候，才是真的大。
• 因此，将某块石头在 Alice 眼中的价值 +Bob 眼里的价值相加，排序，然后 Alice 和 Bob 依次进行挑选，最比较 Alice 和 Bob 的得分。
• C++ 示例：

class Solution {
public:
    int stoneGameVI(vector<int>& aliceValues, vector<int>& bobValues) {
        vector<pair<int,int>>vc;
        int len=aliceValues.size();
        for(int i=0;i<len;i++){
            // 合并石头的双从的价值
            int sum=aliceValues[i]+bobValues[i];
            vc.push_back({sum,i});
        }
        // 对合并后的石头的价值进行排序
        sort(vc.rbegin(),vc.rend());
        // Alice的得分
        int A=0;
        // Bob的得分
        int B=0;
        for(int i=0;i<len;i++){
            // 依次轮流拿去石头
            if(i%2==0) {
                A+=aliceValues[vc[i].second];
            } else {
                B+=bobValues[vc[i].second];
            }
        }
        // 返回最后的结果
        if(A==B){
            return 0;
        }
        return A>B?1:-1;
    }
};

三、博客之星

• 今年是我第一次参加博客之星，需要各位大佬的支持，麻烦百忙之中，抽出一点宝贵的时间，给我投一下票：https://bbs.csdn.net/topics/603955258 给我一个五星（列表会一一全部回复），不胜感激！