题目描述

定义阶乘 n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n。
请问 100! （100 的阶乘）有多少个约数。

• 数论的一个知识点：
  

思路：
举个例子
180=2 * 2 * 3 * 3 * 5=22*32 * 5
那么 2 的2 次方对应的约数有 1 2 4 （3个）
3的二次方约数有 1，3， 9 （3个）
5的约数有 1，5 （2个）
则180的约数个数有(1+2) * (1+2) * (1+1)=18个。直接模拟判断约数的个数即可
利用唯一分解定理，分解出质因数对应的的幂数
其中arr数组对应的是质因数的幂数，也就是 a1,a2,a3…

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // 100 的阶乘有多少约数
        int[] arr=new int[102];
        //利用唯一分解定理分解100的阶乘
        // 必须要从2开始
        for (int i=2;i<=100;i++){
            int n=i;
            for (int j=2;j*j<=n;j++ ){
                while (n%j==0){// 当能够整除 的时候，对应余数的幂次加一
                    arr[j]++;
                    n/=j;
                }
            }
            //整除完了后如果剩下的n不为1，则当前的n为因子
            if (n>1){
                arr[n]++;
            }
        }
        long ans=1;
        for (int i=2;i<=100;i++){
            if (arr[i]>0){
                ans*=(arr[i]+1);
            }
        }
        System.out.println(ans);

    }

}

其中我们判断在一定范围也可以通过下面 的isprime方法构造素数数组也可

 public  static  boolean isprime(int x){
        if (x==1) return false;
        for (int i=2;i<x;i++){
            if (x%i==0){
                return  false;
            }
        }
        return  true;
    }