【数据结构与算法】之深入解析“石子游戏IX”的求解思路与算法示例

一、题目描述

• Alice 和 Bob 再次设计了一款新的石子游戏，现有一行 n 个石子，每个石子都有一个关联的数字表示它的价值，给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 是第 i 个石子的价值。
• Alice 和 Bob 轮流进行自己的回合，Alice 先手，每一回合，玩家需要从 stones 中移除任一石子。
• • 如果玩家移除石子后，导致所有已移除石子的价值总和可以被 3 整除，那么该玩家就输掉游戏；
• • 如果不满足上一条，且移除后没有任何剩余的石子，那么 Bob 将会直接获胜（即便是在 Alice 的回合）。
• 假设两位玩家均采用最佳决策，如果 Alice 获胜，返回 true；如果 Bob 获胜，返回 false。
• 示例 1：

输入：stones = [2,1]
输出：true
解释：游戏进行如下：
- 回合 1：Alice 可以移除任意一个石子。
- 回合 2：Bob 移除剩下的石子。 
已移除的石子的值总和为 1 + 2 = 3 且可以被 3 整除。因此，Bob 输，Alice 获胜。

• 示例 2：

输入：stones = [2]
输出：false
解释：Alice 会移除唯一一个石子，已移除石子的值总和为 2 。 
由于所有石子都已移除，且值总和无法被 3 整除，Bob 获胜。

• 示例 3：

输入：stones = [5,1,2,4,3]
输出：false
解释：Bob 总会获胜。其中一种可能的游戏进行方式如下：
- 回合 1：Alice 可以移除值为 1 的第 2 个石子。已移除石子值总和为 1 。
- 回合 2：Bob 可以移除值为 3 的第 5 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 = 4 。
- 回合 3：Alices 可以移除值为 4 的第 4 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 = 8 。
- 回合 4：Bob 可以移除值为 2 的第 3 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 = 10.
- 回合 5：Alice 可以移除值为 5 的第 1 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 + 5 = 15.
Alice 输掉游戏，因为已移除石子值总和（15）可以被 3 整除，Bob 获胜。

二、求解算法：构造移除序列，计算回合数

• 由于只关心总和能否被 3 整除，我们可以将 stones 按照模 3 的结果分为 3 组，即 0、1 和 2。
• 根据题意，第一回合不能移除 0，否则直接输掉游戏，因此第一回合只能移除 1 或者 2，可以枚举这两种情况，如果其中一种可以让 Alice 获胜就返回 true，否则返回 false。
• 下面以第一回合移除 1 来说明。在不考虑移除 0 的前提下，后面的移除由于要满足总和不能被 3 整除，因此移除的石子是固定的，整体构成一个 112121212… 循环的序列。
• 对于 0，由于移除之后不会改变总和模 3 的结果，因此不会改变后续 1 和 2 的移除顺序，所以可以在序列的任意非开头位置插入 0。
• 两人为了不让自己输掉，必然会按照上述序列进行，直到没有石子，或某一方只能移除导致总和被 3 整除的石子时分出胜负。因此需要求出让总和不能被 3 整除的最大的回合数，这相当于 112121212… 序列的最长长度，加上 0 的个数。
• 若该回合数为奇数，且还有剩余石子，那么下一回合要轮到 Bob 移除石子，且他只能移除一枚让总和被 3 整除的石子，于是 Alice 获胜；否则 Bob 获胜。
• 对于第一回合移除 2 的情况，同样会构成一个 221212121… 循环的序列，做法同上。
• 算法示例如下：

func check(c [3]int) bool {
	if c[1] == 0 {
		return false
	}
	c[1]-- // 开头为 1
	turn := 1 + min(c[1], c[2])*2 + c[0] // 计算回合数
	if c[1] > c[2] { // 序列末尾可以再加个 1
		turn++
		c[1]--
	}
	return turn%2 == 1 && c[1] != c[2] // 回合数为奇数，且还有剩余石子
}

func stoneGameIX(stones []int) bool {
	c := [3]int{}
	for _, v := range stones {
		c[v%3]++
	}
	return check(c) || check([3]int{c[0], c[2], c[1]}) // 枚举第一回合移除的是 1 还是 2
}

func min(a, b int) int {
	if a > b {
		return b
	}
	return a
}

• 注意到对于回合数，只需考虑其奇偶性，因此可以去掉恒为偶数的 min(c[1], c[2])*2，然后按照 c[0] 的奇偶性分类讨论：
• • 若 c[0] 为偶数，要使回合数为奇数，c[1] > c[2] 必须不成立，可以选择 c[1] 和 c[2] 中的较小值当作第一回合移除的石子，这样做除了让 c[1] > c[2] 不成立外，由于 c[1]-- 的缘故，还可以使 c[1] != c[2] 成立。因此在 c[0] 为偶数的情况下，需要满足 min(c[1],c[2])>0，即 c[1]>0 且 c[2]>0 时 Alice 才可以获胜；
• • 若 c[0] 为奇数，要使回合数为奇数，c[1] > c[2] 必须成立。在执行了两次 c[1]-- 后，由于要满足最后的 c[1] != c[2]，相当于在初始时满足 c[1] - 2 > c[2]。因此在 c[0] 为奇数的情况下，需要满足 c[1]−2>c[2] 或 c[2]−2>c[1] 时 Alice 才可以获胜。

func stoneGameIX(stones []int) bool {
	c := [3]int{}
	for _, v := range stones {
		c[v%3]++
	}
	if c[0]%2 == 0 {
		return c[1] > 0 && c[2] > 0 // min(c[1], c[2]) > 0
	}
	return c[1]-2 > c[2] || c[2]-2 > c[1]
}

三、博客之星

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