数学竞赛-全微分与解析几何
数学竞赛
一、求极限
1.1 先化简
对于x趋于0,
e
−
x
2
e^{-x^2}
e−x2 这种复杂的结构其实就是1。
1.2 减法式子化乘法
对于x趋于0,
1
−
x
3
−
1
sqrt{1-x^3}- 1
1−x3
−1 当然要化成乘法了,这个其实是用广义二项式定理做的,属于等价无穷小,或者泰勒级数。
1.3 熟悉常见的泰勒级数
e
x
=
1
+
x
+
1
2
!
x
2
+
⋯
+
1
n
!
x
n
+
…
sin
x
=
x
−
1
3
!
x
3
+
1
5
!
x
5
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
1
(
2
n
−
1
)
!
x
2
n
−
1
+
…
cos
x
=
1
−
1
2
!
x
2
+
1
4
!
x
4
+
⋯
+
(
−
1
)
n
1
2
n
!
x
2
n
+
…
(
1
+
x
)
p
=
1
+
p
x
+
p
(
p
−
1
)
x
2
+
p
(
p
−
1
)
(
p
−
2
)
x
3
+
p
(
p
−
1
)
(
p
−
2
)
(
p
−
3
)
x
4
+
…
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
…
e^x=1+x+frac{1}{2!}x^2+dots+frac{1}{n!}x^n+dots\ sin x=x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}x^5+dots+(-1)^{n-1}frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+dots\ cos x=1-frac{1}{2!}x^2+frac{1}{4!}x^4+dots+(-1)^{n}frac{1}{2n!}x^{2n}+dots\ (1+x)^p=1+px+p(p-1)x^2+p(p-1)(p-2)x^3+p(p-1)(p-2)(p-3)x^4+dots\ frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+dots
ex=1+x+2!1x2+⋯+n!1xn+…sinx=x−3!1x3+5!1x5+⋯+(−1)n−1(2n−1)!1x2n−1+…cosx=1−2!1x2+4!1x4+⋯+(−1)n2n!1x2n+…(1+x)p=1+px+p(p−1)x2+p(p−1)(p−2)x3+p(p−1)(p−2)(p−3)x4+…1−x1=1+x+x2+x3+…
还有一个好玩的,
arctan
x
=
x
−
1
3
x
3
+
1
5
x
5
−
1
7
x
7
+
…
arctan x = x-frac{1}{3}x^3+frac15x^5-frac17x^7+dots
arctanx=x−31x3+51x5−71x7+…
这个为啥这么规整,是因为可以这样求
1
1
+
x
2
=
1
−
x
2
+
x
4
−
x
6
+
…
frac1{1+x^2} = 1-x^2+x^4-x^6+dots
1+x21=1−x2+x4−x6+…
这个式子是把之前这个式子中的x换成
−
x
2
-x^2
−x2 得到的
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
…
frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+dots
1−x1=1+x+x2+x3+…
然后arctanx求导就是这个,所以往上积分就可以得到。
1.4 再谈比较幂次
我在数学分析基本功里讲过这个事情,可以通过记忆比较常见的函数的幂次,就可以判断一些极限,但是这个方法阐述的不是很完善,现在再次阐述一下。
采用比较阶数的极限一定是分式型极限,对于求极限,那么显然极限是存在的,那么首先,利用这个性质,我们就可以先考虑对加减型的分子进行拆项,如果是可以拆开的,那么每个拆完的分式都是有极限的。拆完以后可以化简问题。
那么怎样判断极限是否存在呢?那么就是分子的最小幂次只能大于等于分母的最小幂次。这就是最本质的道理。只要不满足这个条件,极限就不存在,当等于的时候,会有一个非零极限,当小于的时候,极限为0。
那么怎样利用这个性质呢?那么就是应该充分利用麦克劳林展开,然后再用柯西乘积,大胆的舍弃高幂次的项,就可以很快的判断极限,比如
lim
x
→
0
1
−
cos
x
(
cos
2
x
)
1
2
(
cos
3
x
)
1
3
x
2
lim_{xrightarrow0}frac{1-cos x(cos 2x)^frac{1}{2}(cos 3x)^frac{1}{3}}{x^2}
x→0limx21−cosx(cos2x)21(cos3x)31
虽然是大部分是乘积形式的,但是只要胆子大,还是可以算的。首先,一旦幂次超过2,那么就不用考虑了,因为极限为0。所以要考虑就只有这样
cos
x
=
1
−
1
2
x
2
+
o
(
x
2
)
(
cos
2
x
)
1
2
=
1
−
x
2
+
o
(
x
2
)
(
cos
3
x
)
1
3
=
1
−
3
2
x
2
+
o
(
x
2
)
cos x=1-frac12x^2+o(x^2)\ (cos 2x)^frac12 = 1-x^2+o(x^2)\ (cos 3x)^frac13 = 1-frac32x^2+o(x^2)
cosx=1−21x2+o(x2)(cos2x)21=1−x2+o(x2)(cos3x)31=1−23x2+o(x2)
而且也不用把他们完全乘开,只需要看幂次等于和小于2的项就好了(等于的用于出结果,小于的用于和其他小于的项消掉,不然极限就不存在了)。所以有
cos
x
(
cos
2
x
)
1
2
(
cos
3
x
)
1
3
=
1
−
3
x
2
+
o
(
x
2
)
cos x(cos 2x)^frac{1}{2}(cos 3x)^frac{1}{3} = 1-3x^2+o(x^2)
cosx(cos2x)21(cos3x)31=1−3x2+o(x2)
最后就可以得到答案3了。
二、微分
2.1 隐函数全微分
隐函数求导到底什么是最重要的?他跟普通的求导有什么区别?我们要怎样看待这种区别?我觉得这些问题都可以用将求导转化为求全微分解决,这种求法是我刚刚想出来的,让我花点时间解释一下。
传统的隐函数求导需要回答对谁求导?这个问题,这个问题在显函数之中是不存在的,谁是自变量,对谁求导,但是对于隐函数,这种东西是不靠谱的,比如一个简单的隐函数
x
2
+
y
2
=
1
x^2+y^2=1
x2+y2=1
那么为什么是要求成这种形式
2
x
+
2
y
y
′
=
0
2x+2yy^prime = 0
2x+2yy′=0
这种因为极其不对称而极其丑陋的东西。
而且当隐函数出乘题目的时候,就会更加恶心(恶心表现在两方面求导繁琐易错和做不出来),比如这个题
已
知
y
2
(
x
−
y
)
=
x
2
,
求
证
:
∫
1
y
2
d
x
=
3
y
x
−
2
l
n
∣
x
y
∣
+
C
已知y^2(x-y) = x^2,求证:intfrac{1}{y^2}dx=frac{3y}x-2ln|frac xy|+C
已知y2(x−y)=x2,求证:∫y21dx=x3y−2ln∣yx∣+C
因为知道是个隐函数题目,所以就先隐函数求导看看吧,结果巨难求,而且求完以后发现还要把后面那个式子等号两边求一下导,还是在是y而不是y(x)的情况下,就恶心至极,然后还解不出来,看了答案发现需要完成
t
=
x
y
t=frac xy
t=yx的换元才能做,这就很搞人心态。
但是如果是按全微分形式求呢?条件可以写成这样
(
y
2
−
2
x
)
d
x
+
(
2
x
y
−
3
y
2
)
d
y
=
0
(y^2-2x)dx+(2xy-3y^2)dy=0
(y2−2x)dx+(2xy−3y2)dy=0
哪怕这个时候再转成导数,也不要太简单。而且众所周知,分式(对应求导)比乘式(对应全微分)进行代数处理要方便许多。然后后面一路平趟,超级简单。
2.2 多元隐函数全微分
教材中给的还是结果,教材隐去了全微分列方程组,将方程组转化成矩阵,利用克莱姆法则求解矩阵这三个过程,直接上来莫名其妙行列式(相当于克莱姆法则的应用)。就让人摸不着头脑。我不知道我在这里哪怕记录下最原本的过程,过了一段时间以后会不会就忘记了,但是还是勉力记下吧。
我们以一道例题为例
{
u
2
+
v
2
−
x
2
−
y
2
=
0
−
u
+
v
−
x
y
+
1
=
0
(1)
begin{cases} u^2 + v^2 - x^2 - y^2 = 0\ -u + v - xy + 1 = 0 end{cases}tag1
{u2+v2−x2−y2=0−u+v−xy+1=0(1)
求
∂
u
∂
x
,
∂
u
∂
y
,
∂
v
∂
x
,
∂
v
∂
y
frac{partial u}{partial x},frac{partial u}{partial y},frac{partial v}{partial x},frac{partial v}{partial y}
∂x∂u,∂y∂u,∂x∂v,∂y∂v。我们先看看全微分形式的答案是怎样的
{
d
u
=
∂
u
∂
x
d
x
+
∂
u
∂
y
d
y
d
v
=
∂
v
∂
x
d
x
+
∂
v
∂
y
d
y
(2)
begin{cases} du = frac{partial u}{partial x}dx + frac{partial u}{partial y}dy\ dv = frac{partial v}{partial x}dx + frac{partial v}{partial y}dy end{cases}tag2
{du=∂x∂udx+∂y∂udydv=∂x∂vdx+∂y∂vdy(2)
然后对于给出的隐函数求个全微分,看看会出现啥结果
{
−
2
u
d
u
+
2
v
d
v
−
2
x
d
x
−
d
y
=
0
−
d
u
+
d
v
−
y
d
x
−
x
d
y
=
0
(3)
begin{cases} -2udu + 2vdv - 2xdx - dy = 0\ -du + dv - ydx -xdy = 0 end{cases}tag3
{−2udu+2vdv−2xdx−dy=0−du+dv−ydx−xdy=0(3)
所以答案就很明显了,因为(3)是一个四元两项的方程组,所以基础解系是二维的,可以用dx和dy表示du和dv。那么他们前面的系数就是我们要求的偏导。
(3)是可以整理成矩阵形式的,就是
[
−
2
u
2
v
−
1
1
]
⋅
[
d
u
d
v
]
=
[
2
x
1
y
x
]
⋅
[
d
x
d
y
]
left[begin{matrix} -2u & 2v\ -1 & 1 end{matrix}right]cdot left[begin{matrix} du \ dv end{matrix}right]= left[begin{matrix} 2x & 1\ y & x end{matrix}right]cdot left[begin{matrix} dx\dy end{matrix}right]
[−2u−12v1]⋅[dudv]=[2xy1x]⋅[dxdy]
要是再粗糙一些,就可以用克莱姆法则解这个式子了(忽略dx,dy向量),但是这不是我要说的,我的方法就是普通的高斯消元。最后可以解得
{
d
u
=
x
−
v
y
u
+
v
d
x
+
1
−
2
v
x
2
v
+
2
u
d
y
d
v
=
x
+
u
y
u
+
v
d
x
+
1
+
2
u
x
2
v
+
2
u
d
y
begin{cases} du = frac{x - vy}{u + v}dx + frac{1 - 2vx}{2v + 2u}dy\ dv = frac{x + uy}{u + v}dx + frac{1 + 2ux}{2v + 2u}dy end{cases}
{du=u+vx−vydx+2v+2u1−2vxdydv=u+vx+uydx+2v+2u1+2uxdy
只要让对应项相等就可以了。
如果上升到理论的高度,我们可以这样概括,对于多元的隐函数,通过求全微分,可以得到这样的一组式子
{
F
u
d
u
+
F
v
d
v
+
F
x
d
x
+
F
y
d
y
=
0
G
u
d
u
+
G
v
d
v
+
G
x
d
x
+
G
y
d
y
=
0
begin{cases} F_udu + F_vdv + F_xdx + F_ydy = 0\ G_udu + G_vdv + G_xdx + G_ydy = 0 end{cases}
{Fudu+Fvdv+Fxdx+Fydy=0Gudu+Gvdv+Gxdx+Gydy=0
然后一定可以整理成(或者求解成)这种形式:
{
d
u
=
∂
u
∂
x
d
x
+
∂
u
∂
y
d
y
d
v
=
∂
v
∂
x
d
x
+
∂
v
∂
y
d
y
begin{cases} du = frac{partial u}{partial x}dx + frac{partial u}{partial y}dy\ dv = frac{partial v}{partial x}dx + frac{partial v}{partial y}dy end{cases}
{du=∂x∂udx+∂y∂udydv=∂x∂vdx+∂y∂vdy
其他的都是花活。
三、积分
3.1 莱布尼茨公式
3.2 第一型的积分微元
在这里,如果没有直观化的理解,就很容易忘记第一型的线元或者面元的公式,而且遇到比如参数方程,或者是普通方程组,要是只背了一个公式,就很容易麻爪,所以这一节的目的是直观线元和面元的推导。
线元和面元的推导其实原理都建立于解析几何上,准确的说,是建立在角度上,而角度又与真正的积分微元和法向量或者切向量有关。
对于线元,我们有
d
s
=
d
x
cos
α
ds = frac{dx}{cos alpha}
ds=cosαdx
其中dx可以是dx,也可以是dy,是dt,是啥都行,只要是具体的积分微元就可以,
α
alpha
α 是dx与ds的夹角,那么夹角是怎样求出来的呢,其实就是曲线的切向量与dx的内积除以切向量的模长。比如当曲线用参数方程表示的时候,切向量和切向量的模长
n
=
(
x
′
(
t
)
,
y
′
(
t
)
,
z
′
(
t
)
)
,
∣
n
∣
=
x
′
(
t
)
2
+
y
′
(
t
)
2
+
z
′
(
t
)
2
n = (x^prime(t), y^prime(t), z^prime(t)) ,|n|=sqrt{x^prime(t)^2 + y^prime(t)^2 + z^prime(t)^2}
n=(x′(t),y′(t),z′(t)),∣n∣=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2
如果用dx做积分微元,那么此时
cos
α
cosalpha
cosα就是
cos
α
=
x
′
(
t
)
x
′
(
t
)
2
+
y
′
(
t
)
2
+
z
′
(
t
)
2
=
1
1
+
y
x
2
+
z
x
2
cosalpha = frac{x^prime(t)}{sqrt{x^prime(t)^2 + y^prime(t)^2 + z^prime(t)^2}}=frac{1}{sqrt{1 + y_x^2 + z_x^2}}
cosα=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2
x′(t)=1+yx2+zx2
1
如果用dt作为积分微元,那么此时
cos
α
cosalpha
cosα就是
cos
α
=
1
x
′
(
t
)
2
+
y
′
(
t
)
2
+
z
′
(
t
)
2
cosalpha = frac{1}{sqrt{x^prime(t)^2 + y^prime(t)^2 + z^prime(t)^2}}
cosα=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2
1
对于面元,同样也有这种思考,即
d
S
=
d
y
d
z
cos
α
=
d
z
d
x
cos
β
=
d
x
d
y
cos
γ
dS = frac{dydz}{cosalpha} = frac{dzdx}{cosbeta} = frac{dxdy}{cosgamma}
dS=cosαdydz=cosβdzdx=cosγdxdy
最后还是要落实到求角度的问题,比如
α
alpha
α 就是dx与法向量的夹角(这里用了几何知识),所以求这个,其实就是
cos
α
=
F
x
F
x
2
+
F
y
2
+
F
z
2
=
1
1
+
x
y
2
+
x
z
2
cosalpha = frac{F_x}{sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}} = frac{1}{sqrt{1 + x_y^2 + x_z^2}}
cosα=Fx2+Fy2+Fz2
Fx=1+xy2+xz2
1
3.3 有理函数不定积分
虽然复习了很多遍,但是遇见题还是不会,所以又整理了一遍。
首先需要把有理多项式的积分,首先应该把它化为多项式和真分式的和,在把真分式分解成部分分式的形式,对于部分分式的四种基本类型,都是可以进行积分的。
另外需要强调的是,这种预处理几乎是必须的,它并不像三角函数那样可以跳过,这是必须的。
∫
1
x
−
a
d
x
=
l
n
∣
x
−
a
∣
+
C
intfrac{1}{x-a}dx = ln|x-a|+C
∫x−a1dx=ln∣x−a∣+C
∫
1
(
x
−
a
)
n
d
x
=
1
1
−
n
(
x
−
a
)
1
−
n
+
C
intfrac{1}{(x-a)^n}dx = frac{1}{1-n}(x-a)^{1-n}+C
∫(x−a)n1dx=1−n1(x−a)1−n+C
∫
M
x
+
N
x
2
+
p
x
+
q
d
x
首
先
要
对
分
子
进
行
配
方
,
转
变
成
这
种
形
式
intfrac{Mx+N}{x^2+px+q}dx 首先要对分子进行配方,转变成这种形式
∫x2+px+qMx+Ndx首先要对分子进行配方,转变成这种形式
∫
M
u
+
b
u
2
+
a
2
d
u
=
M
2
∫
d
(
u
2
+
a
2
)
u
2
+
a
2
+
b
∫
d
u
u
2
+
a
2
=
M
2
l
n
(
u
2
+
a
2
)
+
b
a
a
r
c
t
a
n
u
a
+
C
intfrac{Mu+b}{u^2+a^2}du= frac{M}{2}intfrac{d(u^2+a^2)}{u^2+a^2}+bintfrac{du}{u^2+a^2}=frac{M}2ln(u^2+a^2)+frac b aarctanfrac u a+C
∫u2+a2Mu+bdu=2M∫u2+a2d(u2+a2)+b∫u2+a2du=2Mln(u2+a2)+abarctanau+C
可以看到,主要利用的是配方法和arctanx的微分,这种形式一定要熟悉。
∫
M
x
+
N
(
x
2
+
p
x
+
q
)
n
d
x
=
M
2
∫
u
2
+
a
2
(
u
2
+
a
2
)
n
+
b
∫
d
u
(
u
2
+
a
2
)
n
intfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx=frac M2intfrac{u^2+a^2}{(u^2+a^2)^n}+bintfrac{du}{(u^2+a^2)^n}
∫(x2+px+q)nMx+Ndx=2M∫(u2+a2)nu2+a2+b∫(u2+a2)ndu
现在难点就落在对最后一项的积分上了,这个是需要迭代才能积分出来的。较为复杂。有(这里真的很复杂,首先(1)中那个构造就很反人类,然后(2)中分部积分的时候,居然把分子拆开了,也是不太常见,所以一定要背过)
I
n
=
∫
d
u
(
u
2
+
a
2
)
n
=
1
a
2
∫
u
2
+
a
2
−
u
2
(
u
2
+
a
2
)
n
d
u
=
I
n
−
1
a
2
+
1
a
2
∫
−
u
2
(
u
2
+
a
2
)
n
d
u
(1)
I_n=intfrac{du}{(u^2+a^2)^n}=frac 1 {a^2}intfrac{u^2+a^2-u^2}{(u^2+a^2)^n}dutag{1}=frac{I_{n-1}}{a^2}+frac{1}{a^2}intfrac{-u^2}{(u^2+a^2)^n}du
In=∫(u2+a2)ndu=a21∫(u2+a2)nu2+a2−u2du=a2In−1+a21∫(u2+a2)n−u2du(1)
所以问题的交点又变成了对最后一项的积分,采用分部积分有
∫
u
2
(
u
2
+
a
2
)
n
d
u
=
1
2
∫
u
(
u
2
+
a
2
)
n
d
(
u
2
+
a
2
)
=
1
2
(
1
−
n
)
(
u
(
u
2
+
a
2
)
n
−
1
−
I
n
−
1
)
(2)
intfrac{u^2}{(u^2+a^2)^n}du=frac12intfrac{u}{(u^2+a^2)^n}d(u^2+a^2)=frac{1}{2(1-n)}(frac{u}{(u^2+a^2)^{n-1}}- I_{n-1})tag2
∫(u2+a2)nu2du=21∫(u2+a2)nud(u2+a2)=2(1−n)1((u2+a2)n−1u−In−1)(2)
3.4 多元函数积分变量代换
教材依然是给的不明就里,平白无故出现雅克比行列式,然后平白无故进行代换。我思考良久,决定还是应该从全微分的角度给出推导。
当我们进行多重积分的时候,其实就是对体积微元进行积分,体积微元一般是dv,但是我们一般用dxdydz来近似(其实严格的话是需要证明的),变量代换说的解释将dxdydz换成dudvdw的过程,虽然两者都是体积微元,但是两个体积微元的大小并不相同,而是需要计算的,那么如何计算呢,很简单,因为微元具有线性性质,只要把这种微元表示成那种微元(就跟换基)一样,然后利用行列式的绝对值是面积或者体积的特性,就可以求出两种体积微元的比值。具体操作如下。
{
x
=
x
(
u
,
v
,
w
)
y
=
y
(
u
,
v
,
w
)
z
=
z
(
u
,
v
,
w
)
begin{cases} x = x(u, v, w)\ y = y(u, v, w)\ z = z(u, v, w) end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧x=x(u,v,w)y=y(u,v,w)z=z(u,v,w)
对其求全微分,有
d
x
=
x
u
d
u
+
x
v
d
v
+
x
w
d
w
d
y
=
y
u
d
u
+
y
v
d
v
+
y
w
d
w
d
z
=
z
u
d
u
+
z
v
d
v
+
z
w
d
w
dx = x_udu + x_vdv + x_wdw\ dy = y_udu + y_vdv + y_wdw\ dz = z_udu + z_vdv + z_wdw
dx=xudu+xvdv+xwdwdy=yudu+yvdv+ywdwdz=zudu+zvdv+zwdw
这个式子可以理解为换基了,所以可以求出比值就是基变换行列式的值。
∣
J
∣
=
∣
x
u
x
v
x
w
y
u
y
v
y
w
z
u
z
v
z
w
∣
d
x
d
y
d
z
=
J
⋅
d
u
d
v
d
w
|J| = left|begin{matrix} x_u & x_v & x_w\ y_u & y_v & y_w\ z_u & z_v & z_w end{matrix}right|\ dxdydz = J cdot dudvdw
∣J∣=∣∣∣∣∣∣xuyuzuxvyvzvxwywzw∣∣∣∣∣∣dxdydz=J⋅dudvdw
这就是根本原理。
另外说一下书上的标记,书上有如下记号
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
u
,
v
,
w
)
=
[
x
u
x
v
x
w
y
u
y
v
y
w
z
u
z
v
z
w
]
frac{partial (x, y, z)}{partial (u, v, w)} = left[begin{matrix} x_u & x_v & x_w\ y_u & y_v & y_w\ z_u & z_v & z_w end{matrix}right]
∂(u,v,w)∂(x,y,z)=⎣⎡xuyuzuxvyvzvxwywzw⎦⎤
常见的雅克比行列式的值,有柱坐标系的
r
r
r ,还有球坐标系的
r
2
sin
ϕ
r^2sinphi
r2sinϕ (phi是0到pi的那个),极坐标系的
r
r
r 。
3.5 三个积分公式
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
=
∬
S
∣
∂
∂
x
∂
∂
y
P
Q
∣
d
x
d
y
oint_L Pdx + Qdy = iint_S left | begin{matrix} frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} \ P & Q end{matrix} right | dxdy
∮LPdx+Qdy=∬S∣∣∣∣∂x∂P∂y∂Q∣∣∣∣dxdy
格林公式可以用于将二重积分转换成第二型曲线积分(就是普通积分),需要通过简单构造:
S
=
1
2
∮
x
d
y
−
y
d
x
S = frac{1}{2}oint xdy - ydx
S=21∮xdy−ydx
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
=
∬
S
∣
d
y
d
z
d
z
d
x
d
x
d
y
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
P
Q
R
∣
oint_L Pdx + Qdy + Rdz = iint_S left | begin{matrix} dydz & dzdx & dxdy \ frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} & frac{partial}{partial z} \ P & Q & R end{matrix} right |
∮LPdx+Qdy+Rdz=∬S∣∣∣∣∣∣dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R∣∣∣∣∣∣
∯
S
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
=
∭
V
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
d
x
d
y
d
z
oiint_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = iiint_V (frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y} + frac{partial R}{partial z})dxdydz
∬
SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭V(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dxdydz
四、解析几何
4.1 切向量和法向量
这个章节我已经总结无数次了,但是每次都忘,实在是没有办法了。只好再次写一次了,就很无奈。
4.1.1 求垂直于两个向量的第三个向量
我们都知道可以用形式行列式来求解,就是这样:
[
i
j
k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
]
left[ begin{matrix} i & j & k\ x_1 & y_1 & z_1\ x_2 & y_2 & z_2 end{matrix} right]
⎣⎡ix1x2jy1y2kz1z2⎦⎤
最后求解出来就是这样(用n表示法向量,因为n是normal vector的意思)
n
=
(
y
1
z
2
−
y
2
z
1
,
x
2
z
1
−
x
1
z
2
,
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
n = (y_1z_2-y_2z_1, x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)
n=(y1z2−y2z1,x2z1−x1z2,x1y2−x2y1)
但是其实这个并不本质,最本质的是用的是当两个向量垂直时,他们点乘为0这个性质,列出两个式子,这样:
{
x
1
x
+
y
1
y
+
z
1
z
=
0
x
2
x
+
y
2
y
+
z
2
z
=
0
begin{cases}x_1x+y_1y+z_1z = 0\x_2x+y_2y+z_2z = 0end{cases}
{x1x+y1y+z1z=0x2x+y2y+z2z=0
然后这个再转换成一个矩阵相乘的形式
[
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
]
⋅
n
=
0
left[ begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1\ x_2 & y_2 & z_2 end{matrix} right]cdot n = 0
[x1x2y1y2z1z2]⋅n=0
n对应一个基础解系。然后最对称的一个就是上面那个用形式行列式解出来的那个。
4.1.2 已知法向量求过定点的平面
这个其实也是垂直的向量点乘等于0的应用,因为是法向量,所以他应该与平面内的任何一条直线垂直,所以我们利用这个性质,可以列出一个等式
n
⋅
[
x
−
x
0
y
−
y
0
z
−
z
0
]
=
0
ncdotleft[begin{matrix}x-x_0\y-y_0\z-z_0end{matrix}right] = 0
n⋅⎣⎡x−x0y−y0z−z0⎦⎤=0
如果要是将其写开,可以整理成很漂亮的形式,如下
x
n
x
+
y
n
y
+
z
n
z
=
x
n
x
0
+
y
n
y
0
+
z
n
z
0
x_nx+y_ny+z_nz = x_nx_0+y_ny_0+z_nz_0
xnx+yny+znz=xnx0+yny0+znz0
正因为如此,当我们看见一个一般平面的时候,可以很轻易的写出他的法向量。
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
,
n
=
(
A
,
B
,
C
)
Ax+By+Cz+D=0,n=(A, B,C)
Ax+By+Cz+D=0,n=(A,B,C)
4.1.3 参数方程表示的曲线的切向量和法平面
其实最自然的是曲线方程就是参数方程,尤其是那种带t的,t最好是曲线的长度,然后x,y,z是t在三个面上的投影,简直完美,所以对于,我们可以很容易想到,当参数方程式这样的
{
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
z
=
z
(
t
)
begin{cases}x = x(t)\y = y(t)\z = z(t)end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)
他的切向量是
n
=
(
x
′
(
t
)
,
y
′
(
t
)
,
z
′
(
t
)
)
n = (x^prime(t),y^prime(t),z^prime(t))
n=(x′(t),y′(t),z′(t))
然后根据4.1.2的内容,可以求它的法平面
x
′
(
t
0
)
x
+
y
′
(
t
0
)
y
+
z
′
(
t
0
)
z
=
x
′
(
t
0
)
x
(
t
0
)
+
y
′
(
t
0
)
y
(
t
0
)
+
z
′
(
t
0
)
z
(
t
0
)
x^prime(t_0)x+y^prime(t_0)y+z^prime(t_0)z=x^prime(t_0)x(t_0)+y^prime(t_0)y(t_0)+z^prime(t_0)z(t_0)
x′(t0)x+y′(t0)y+z′(t0)z=x′(t0)x(t0)+y′(t0)y(t0)+z′(t0)z(t0)
4.1.4 对“方程组表示的曲线的切向量和法平面”书上解法的批判
方程组表示的曲线长成这个样子
{
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
G
(
x
,
y
,
z
)
=
0
begin{cases}F(x,y,z) = 0\G(x,y,z)=0end{cases}
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
可以看出,远远没有参数形式直观,那么应该怎么办呢?书上给了一种我要批判的方法,这种方法就是强行将其转换为参数方程然后套用4.1.3的形式,具体说来,就是把x看为参数,然后就可以这样
{
x
=
x
y
=
y
(
x
)
z
=
z
(
x
)
begin{cases}x=x\y=y(x)\z=z(x)end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧x=xy=y(x)z=z(x)
那么
y
′
(
x
)
,
z
′
(
x
)
y^prime(x),z^prime(x)
y′(x),z′(x)怎么求呢?当然是隐函数求导了(这个也是要批判的点,具体原因见2.1),可以获得一个方程组
{
F
x
+
F
y
y
′
(
x
)
+
F
z
z
′
(
x
)
=
0
G
x
+
G
y
y
′
(
x
)
+
G
z
z
′
(
x
)
=
0
begin{cases}F_x+F_yy^prime(x)+F_zz^prime(x) = 0\G_x+G_yy^prime(x)+G_zz^prime(x) = 0end{cases}
{Fx+Fyy′(x)+Fzz′(x)=0Gx+Gyy′(x)+Gzz′(x)=0
然后书上最骚的是,居然还不老老实实解,还非得用一下克莱姆法则(还是先给结论,后给推导,都不知道这俩其实是一种方法)
[
F
y
F
z
G
y
G
z
]
⋅
[
y
′
z
′
]
=
−
[
F
x
G
x
]
left[begin{matrix}F_y & F_z\G_y & G_zend{matrix}right]cdot left[begin{matrix}y^prime\z^primeend{matrix}right]= -left[begin{matrix}F_x\G_xend{matrix}right]
[FyGyFzGz]⋅[y′z′]=−[FxGx]
然后就可以解出来了,其他就梳理成章了。
4.1.5 曲面的直观理解
在4.1.2中,我们在最后介绍了如何从平面的方程观察性质(法向量)。现在介绍一下面对曲线方程,如何求法向量。
这其实还是建立在对曲面的直观理解上,我个人感觉,应该将平面方程更换为这个
F
x
d
x
+
F
y
d
y
+
F
z
d
z
=
0
F_xdx+F_ydy+F_zdz=0
Fxdx+Fydy+Fzdz=0
这个接近以直代曲的思想,考虑平面,有
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
Ax+By+Cz+D=0
Ax+By+Cz+D=0
那么将x,y,z换成dx,dy,dz,就是将一小片曲面看成平面,此时这个平面的法向量就是
(
F
x
,
F
y
,
F
z
)
(F_x,F_y,F_z)
(Fx,Fy,Fz) ,然后往上积分,就可以得到
F
(
x
,
y
,
z
)
=
C
F(x,y,z) = C
F(x,y,z)=C
这就是我们熟悉的曲面的一般形式。
总结一下,就是有了这个直观感觉,当给定一个曲面方程的时候,就可以写出它在任一点的法向量
(
F
x
,
F
y
,
F
z
)
(F_x,F_y,F_z)
(Fx,Fy,Fz)。
4.1.6 直观化方程组表示的曲线
有了4.1.5的基础,我们就可以对方程组表示的曲线有了一个更深的理解,我们首先将方程组写成这个样子
{
F
x
d
x
+
F
y
d
y
+
F
z
d
z
=
0
G
x
d
x
+
G
y
d
y
+
G
z
d
z
=
0
begin{cases}F_xdx+F_ydy+F_zdz=0\G_xdx+G_ydy+G_zdz=0end{cases}
{Fxdx+Fydy+Fzdz=0Gxdx+Gydy+Gzdz=0
也就是说,所谓曲线,就是在任意点(x,y,z)都保证他的(dx,dy,dz)与两个平面在此点的法向量都垂直(因为直线同时在两个面上),这样,就是(dx,dy,dz)是法向量,那么两个方程解三个未知量,刚好符合法向量的定义(定方向,不定长)。
然后解完法向量以后,就可以再求切平面了。