数学竞赛-全微分与解析几何

数学竞赛

一、求极限

1.1 先化简

对于x趋于0,

e

x

2

e^{-x^2}

ex2 这种复杂的结构其实就是1。

1.2 减法式子化乘法

对于x趋于0,

1

x

3

1

sqrt{1-x^3}- 1

1x3

1 当然要化成乘法了,这个其实是用广义二项式定理做的,属于等价无穷小,或者泰勒级数

1.3 熟悉常见的泰勒级数

e

x

=

1

+

x

+

1

2

!

x

2

+

+

1

n

!

x

n

+

sin

x

=

x

1

3

!

x

3

+

1

5

!

x

5

+

+

(

1

)

n

1

1

(

2

n

1

)

!

x

2

n

1

+

cos

x

=

1

1

2

!

x

2

+

1

4

!

x

4

+

+

(

1

)

n

1

2

n

!

x

2

n

+

(

1

+

x

)

p

=

1

+

p

x

+

p

(

p

1

)

x

2

+

p

(

p

1

)

(

p

2

)

x

3

+

p

(

p

1

)

(

p

2

)

(

p

3

)

x

4

+

1

1

x

=

1

+

x

+

x

2

+

x

3

+

e^x=1+x+frac{1}{2!}x^2+dots+frac{1}{n!}x^n+dots\ sin x=x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}x^5+dots+(-1)^{n-1}frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+dots\ cos x=1-frac{1}{2!}x^2+frac{1}{4!}x^4+dots+(-1)^{n}frac{1}{2n!}x^{2n}+dots\ (1+x)^p=1+px+p(p-1)x^2+p(p-1)(p-2)x^3+p(p-1)(p-2)(p-3)x^4+dots\ frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+dots

ex=1+x+2!1x2++n!1xn+sinx=x3!1x3+5!1x5++(1)n1(2n1)!1x2n1+cosx=12!1x2+4!1x4++(1)n2n!1x2n+(1+x)p=1+px+p(p1)x2+p(p1)(p2)x3+p(p1)(p2)(p3)x4+1x1=1+x+x2+x3+

​ 还有一个好玩的,

arctan

x

=

x

1

3

x

3

+

1

5

x

5

1

7

x

7

+

arctan x = x-frac{1}{3}x^3+frac15x^5-frac17x^7+dots

arctanx=x31x3+51x571x7+
​ 这个为啥这么规整,是因为可以这样求

1

1

+

x

2

=

1

x

2

+

x

4

x

6

+

frac1{1+x^2} = 1-x^2+x^4-x^6+dots

1+x21=1x2+x4x6+
​ 这个式子是把之前这个式子中的x换成

x

2

-x^2

x2 得到的

1

1

x

=

1

+

x

+

x

2

+

x

3

+

frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+dots

1x1=1+x+x2+x3+
​ 然后arctanx求导就是这个,所以往上积分就可以得到。

1.4 再谈比较幂次

​ 我在数学分析基本功里讲过这个事情,可以通过记忆比较常见的函数的幂次,就可以判断一些极限,但是这个方法阐述的不是很完善,现在再次阐述一下。

​ 采用比较阶数的极限一定是分式型极限,对于求极限,那么显然极限是存在的,那么首先,利用这个性质,我们就可以先考虑对加减型的分子进行拆项,如果是可以拆开的,那么每个拆完的分式都是有极限的。拆完以后可以化简问题。

​ 那么怎样判断极限是否存在呢?那么就是分子的最小幂次只能大于等于分母的最小幂次。这就是最本质的道理。只要不满足这个条件,极限就不存在,当等于的时候,会有一个非零极限,当小于的时候,极限为0。

​ 那么怎样利用这个性质呢?那么就是应该充分利用麦克劳林展开,然后再用柯西乘积大胆的舍弃高幂次的项,就可以很快的判断极限,比如

lim

x

0

1

cos

x

(

cos

2

x

)

1

2

(

cos

3

x

)

1

3

x

2

lim_{xrightarrow0}frac{1-cos x(cos 2x)^frac{1}{2}(cos 3x)^frac{1}{3}}{x^2}

x0limx21cosx(cos2x)21(cos3x)31
​ 虽然是大部分是乘积形式的,但是只要胆子大,还是可以算的。首先,一旦幂次超过2,那么就不用考虑了,因为极限为0。所以要考虑就只有这样

cos

x

=

1

1

2

x

2

+

o

(

x

2

)

(

cos

2

x

)

1

2

=

1

x

2

+

o

(

x

2

)

(

cos

3

x

)

1

3

=

1

3

2

x

2

+

o

(

x

2

)

cos x=1-frac12x^2+o(x^2)\ (cos 2x)^frac12 = 1-x^2+o(x^2)\ (cos 3x)^frac13 = 1-frac32x^2+o(x^2)

cosx=121x2+o(x2)(cos2x)21=1x2+o(x2)(cos3x)31=123x2+o(x2)
​ 而且也不用把他们完全乘开,只需要看幂次等于和小于2的项就好了(等于的用于出结果,小于的用于和其他小于的项消掉,不然极限就不存在了)。所以有

cos

x

(

cos

2

x

)

1

2

(

cos

3

x

)

1

3

=

1

3

x

2

+

o

(

x

2

)

cos x(cos 2x)^frac{1}{2}(cos 3x)^frac{1}{3} = 1-3x^2+o(x^2)

cosx(cos2x)21(cos3x)31=13x2+o(x2)
​ 最后就可以得到答案3了。


二、微分

2.1 隐函数全微分

​ 隐函数求导到底什么是最重要的?他跟普通的求导有什么区别?我们要怎样看待这种区别?我觉得这些问题都可以用将求导转化为求全微分解决,这种求法是我刚刚想出来的,让我花点时间解释一下。

传统的隐函数求导需要回答对谁求导?这个问题,这个问题在显函数之中是不存在的,谁是自变量,对谁求导,但是对于隐函数,这种东西是不靠谱的,比如一个简单的隐函数

x

2

+

y

2

=

1

x^2+y^2=1

x2+y2=1
​ 那么为什么是要求成这种形式

2

x

+

2

y

y

=

0

2x+2yy^prime = 0

2x+2yy=0
​ 这种因为
极其不对称
而极其丑陋的东西。

​ 而且当隐函数出乘题目的时候,就会更加恶心(恶心表现在两方面求导繁琐易错做不出来),比如这个题

y

2

(

x

y

)

=

x

2

,

1

y

2

d

x

=

3

y

x

2

l

n

x

y

+

C

已知y^2(x-y) = x^2,求证:intfrac{1}{y^2}dx=frac{3y}x-2ln|frac xy|+C

y2(xy)=x2,y21dx=x3y2lnyx+C
​ 因为知道是个隐函数题目,所以就先隐函数求导看看吧,结果巨难求,而且求完以后发现还要把后面那个式子等号两边求一下导,还是在是y而不是y(x)的情况下,就恶心至极,然后还解不出来,看了答案发现需要完成

t

=

x

y

t=frac xy

t=yx的换元才能做,这就很搞人心态。

​ 但是如果是按全微分形式求呢?条件可以写成这样

(

y

2

2

x

)

d

x

+

(

2

x

y

3

y

2

)

d

y

=

0

(y^2-2x)dx+(2xy-3y^2)dy=0

(y22x)dx+(2xy3y2)dy=0
​ 哪怕这个时候再转成导数,也不要太简单。而且众所周知,分式(对应求导)比乘式(对应全微分)进行代数处理要方便许多。然后后面一路平趟,超级简单。

2.2 多元隐函数全微分

​ 教材中给的还是结果,教材隐去了全微分列方程组将方程组转化成矩阵利用克莱姆法则求解矩阵这三个过程,直接上来莫名其妙行列式(相当于克莱姆法则的应用)。就让人摸不着头脑。我不知道我在这里哪怕记录下最原本的过程,过了一段时间以后会不会就忘记了,但是还是勉力记下吧。

​ 我们以一道例题为例

{

u

2

+

v

2

x

2

y

2

=

0

u

+

v

x

y

+

1

=

0

(1)

begin{cases} u^2 + v^2 - x^2 - y^2 = 0\ -u + v - xy + 1 = 0 end{cases}tag1

{u2+v2x2y2=0u+vxy+1=0(1)
​ 求

u

x

,

u

y

,

v

x

,

v

y

frac{partial u}{partial x},frac{partial u}{partial y},frac{partial v}{partial x},frac{partial v}{partial y}

xu,yu,xv,yv。我们先看看全微分形式的答案是怎样的

{

d

u

=

u

x

d

x

+

u

y

d

y

d

v

=

v

x

d

x

+

v

y

d

y

(2)

begin{cases} du = frac{partial u}{partial x}dx + frac{partial u}{partial y}dy\ dv = frac{partial v}{partial x}dx + frac{partial v}{partial y}dy end{cases}tag2

{du=xudx+yudydv=xvdx+yvdy(2)
​ 然后对于给出的隐函数求个全微分,看看会出现啥结果

{

2

u

d

u

+

2

v

d

v

2

x

d

x

d

y

=

0

d

u

+

d

v

y

d

x

x

d

y

=

0

(3)

begin{cases} -2udu + 2vdv - 2xdx - dy = 0\ -du + dv - ydx -xdy = 0 end{cases}tag3

{2udu+2vdv2xdxdy=0du+dvydxxdy=0(3)
​ 所以答案就很明显了,因为(3)是一个四元两项的方程组,所以基础解系是二维的,可以用dx和dy表示du和dv。那么他们前面的系数就是我们要求的偏导。

​ (3)是可以整理成矩阵形式的,就是

[

2

u

2

v

1

1

]

[

d

u

d

v

]

=

[

2

x

1

y

x

]

[

d

x

d

y

]

left[begin{matrix} -2u & 2v\ -1 & 1 end{matrix}right]cdot left[begin{matrix} du \ dv end{matrix}right]= left[begin{matrix} 2x & 1\ y & x end{matrix}right]cdot left[begin{matrix} dx\dy end{matrix}right]

[2u12v1][dudv]=[2xy1x][dxdy]
​ 要是再粗糙一些,就可以用克莱姆法则解这个式子了(忽略dx,dy向量),但是这不是我要说的,我的方法就是普通的高斯消元。最后可以解得

{

d

u

=

x

v

y

u

+

v

d

x

+

1

2

v

x

2

v

+

2

u

d

y

d

v

=

x

+

u

y

u

+

v

d

x

+

1

+

2

u

x

2

v

+

2

u

d

y

begin{cases} du = frac{x - vy}{u + v}dx + frac{1 - 2vx}{2v + 2u}dy\ dv = frac{x + uy}{u + v}dx + frac{1 + 2ux}{2v + 2u}dy end{cases}

{du=u+vxvydx+2v+2u12vxdydv=u+vx+uydx+2v+2u1+2uxdy
​ 只要让对应项相等就可以了。

​ 如果上升到理论的高度,我们可以这样概括,对于多元的隐函数,通过求全微分,可以得到这样的一组式子

{

F

u

d

u

+

F

v

d

v

+

F

x

d

x

+

F

y

d

y

=

0

G

u

d

u

+

G

v

d

v

+

G

x

d

x

+

G

y

d

y

=

0

begin{cases} F_udu + F_vdv + F_xdx + F_ydy = 0\ G_udu + G_vdv + G_xdx + G_ydy = 0 end{cases}

{Fudu+Fvdv+Fxdx+Fydy=0Gudu+Gvdv+Gxdx+Gydy=0
​ 然后一定可以整理成(或者求解成)这种形式:

{

d

u

=

u

x

d

x

+

u

y

d

y

d

v

=

v

x

d

x

+

v

y

d

y

begin{cases} du = frac{partial u}{partial x}dx + frac{partial u}{partial y}dy\ dv = frac{partial v}{partial x}dx + frac{partial v}{partial y}dy end{cases}

{du=xudx+yudydv=xvdx+yvdy
​ 其他的都是花活。


三、积分

3.1 莱布尼茨公式

3.2 第一型的积分微元

​ 在这里,如果没有直观化的理解,就很容易忘记第一型的线元或者面元的公式,而且遇到比如参数方程,或者是普通方程组,要是只背了一个公式,就很容易麻爪,所以这一节的目的是直观线元和面元的推导

​ 线元和面元的推导其实原理都建立于解析几何上,准确的说,是建立在角度上,而角度又与真正的积分微元和法向量或者切向量有关。

​ 对于线元,我们有

d

s

=

d

x

cos

α

ds = frac{dx}{cos alpha}

ds=cosαdx
​ 其中dx可以是dx,也可以是dy,是dt,是啥都行,只要是具体的积分微元就可以,

α

alpha

α 是dx与ds的夹角,那么夹角是怎样求出来的呢,其实就是曲线的切向量与dx的内积除以切向量的模长。比如当曲线用参数方程表示的时候,切向量和切向量的模长

n

=

(

x

(

t

)

,

y

(

t

)

,

z

(

t

)

)

,

n

=

x

(

t

)

2

+

y

(

t

)

2

+

z

(

t

)

2

n = (x^prime(t), y^prime(t), z^prime(t)) ,|n|=sqrt{x^prime(t)^2 + y^prime(t)^2 + z^prime(t)^2}

n=(x(t),y(t),z(t)),n=x(t)2+y(t)2+z(t)2


​ 如果用dx做积分微元,那么此时

cos

α

cosalpha

cosα就是

cos

α

=

x

(

t

)

x

(

t

)

2

+

y

(

t

)

2

+

z

(

t

)

2

=

1

1

+

y

x

2

+

z

x

2

cosalpha = frac{x^prime(t)}{sqrt{x^prime(t)^2 + y^prime(t)^2 + z^prime(t)^2}}=frac{1}{sqrt{1 + y_x^2 + z_x^2}}

cosα=x(t)2+y(t)2+z(t)2

x(t)=1+yx2+zx2

1
​ 如果用dt作为积分微元,那么此时

cos

α

cosalpha

cosα就是

cos

α

=

1

x

(

t

)

2

+

y

(

t

)

2

+

z

(

t

)

2

cosalpha = frac{1}{sqrt{x^prime(t)^2 + y^prime(t)^2 + z^prime(t)^2}}

cosα=x(t)2+y(t)2+z(t)2

1
​ 对于面元,同样也有这种思考,即

d

S

=

d

y

d

z

cos

α

=

d

z

d

x

cos

β

=

d

x

d

y

cos

γ

dS = frac{dydz}{cosalpha} = frac{dzdx}{cosbeta} = frac{dxdy}{cosgamma}

dS=cosαdydz=cosβdzdx=cosγdxdy
​ 最后还是要落实到求角度的问题,比如

α

alpha

α 就是dx与法向量的夹角(这里用了几何知识),所以求这个,其实就是

cos

α

=

F

x

F

x

2

+

F

y

2

+

F

z

2

=

1

1

+

x

y

2

+

x

z

2

cosalpha = frac{F_x}{sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}} = frac{1}{sqrt{1 + x_y^2 + x_z^2}}

cosα=Fx2+Fy2+Fz2

Fx=1+xy2+xz2

1

3.3 有理函数不定积分

​ 虽然复习了很多遍,但是遇见题还是不会,所以又整理了一遍。

​ 首先需要把有理多项式的积分,首先应该把它化为多项式真分式的和,在把真分式分解成部分分式的形式,对于部分分式的四种基本类型,都是可以进行积分的。

​ 另外需要强调的是,这种预处理几乎是必须的,它并不像三角函数那样可以跳过,这是必须的。

1

x

a

d

x

=

l

n

x

a

+

C

intfrac{1}{x-a}dx = ln|x-a|+C

xa1dx=lnxa+C

1

(

x

a

)

n

d

x

=

1

1

n

(

x

a

)

1

n

+

C

intfrac{1}{(x-a)^n}dx = frac{1}{1-n}(x-a)^{1-n}+C

(xa)n1dx=1n1(xa)1n+C

M

x

+

N

x

2

+

p

x

+

q

d

x

intfrac{Mx+N}{x^2+px+q}dx 首先要对分子进行配方,转变成这种形式

x2+px+qMx+Ndx

M

u

+

b

u

2

+

a

2

d

u

=

M

2

d

(

u

2

+

a

2

)

u

2

+

a

2

+

b

d

u

u

2

+

a

2

=

M

2

l

n

(

u

2

+

a

2

)

+

b

a

a

r

c

t

a

n

u

a

+

C

intfrac{Mu+b}{u^2+a^2}du= frac{M}{2}intfrac{d(u^2+a^2)}{u^2+a^2}+bintfrac{du}{u^2+a^2}=frac{M}2ln(u^2+a^2)+frac b aarctanfrac u a+C

u2+a2Mu+bdu=2Mu2+a2d(u2+a2)+bu2+a2du=2Mln(u2+a2)+abarctanau+C
​ 可以看到,主要利用的是配方法arctanx的微分,这种形式一定要熟悉。

M

x

+

N

(

x

2

+

p

x

+

q

)

n

d

x

=

M

2

u

2

+

a

2

(

u

2

+

a

2

)

n

+

b

d

u

(

u

2

+

a

2

)

n

intfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx=frac M2intfrac{u^2+a^2}{(u^2+a^2)^n}+bintfrac{du}{(u^2+a^2)^n}

(x2+px+q)nMx+Ndx=2M(u2+a2)nu2+a2+b(u2+a2)ndu
​ 现在难点就落在对最后一项的积分上了,这个是需要迭代才能积分出来的。较为复杂。有(这里真的很复杂,首先(1)中那个构造就很反人类,然后(2)中分部积分的时候,居然把分子拆开了,也是不太常见,所以一定要背过

I

n

=

d

u

(

u

2

+

a

2

)

n

=

1

a

2

u

2

+

a

2

u

2

(

u

2

+

a

2

)

n

d

u

=

I

n

1

a

2

+

1

a

2

u

2

(

u

2

+

a

2

)

n

d

u

(1)

I_n=intfrac{du}{(u^2+a^2)^n}=frac 1 {a^2}intfrac{u^2+a^2-u^2}{(u^2+a^2)^n}dutag{1}=frac{I_{n-1}}{a^2}+frac{1}{a^2}intfrac{-u^2}{(u^2+a^2)^n}du

In=(u2+a2)ndu=a21(u2+a2)nu2+a2u2du=a2In1+a21(u2+a2)nu2du(1)
​ 所以问题的交点又变成了对最后一项的积分,采用分部积分

u

2

(

u

2

+

a

2

)

n

d

u

=

1

2

u

(

u

2

+

a

2

)

n

d

(

u

2

+

a

2

)

=

1

2

(

1

n

)

(

u

(

u

2

+

a

2

)

n

1

I

n

1

)

(2)

intfrac{u^2}{(u^2+a^2)^n}du=frac12intfrac{u}{(u^2+a^2)^n}d(u^2+a^2)=frac{1}{2(1-n)}(frac{u}{(u^2+a^2)^{n-1}}- I_{n-1})tag2

(u2+a2)nu2du=21(u2+a2)nud(u2+a2)=2(1n)1((u2+a2)n1uIn1)(2)

3.4 多元函数积分变量代换

​ 教材依然是给的不明就里,平白无故出现雅克比行列式,然后平白无故进行代换。我思考良久,决定还是应该从全微分的角度给出推导。

​ 当我们进行多重积分的时候,其实就是对体积微元进行积分,体积微元一般是dv,但是我们一般用dxdydz来近似(其实严格的话是需要证明的),变量代换说的解释将dxdydz换成dudvdw的过程,虽然两者都是体积微元,但是两个体积微元的大小并不相同,而是需要计算的,那么如何计算呢,很简单,因为微元具有线性性质,只要把这种微元表示成那种微元(就跟换基)一样,然后利用行列式的绝对值是面积或者体积的特性,就可以求出两种体积微元的比值。具体操作如下。

{

x

=

x

(

u

,

v

,

w

)

y

=

y

(

u

,

v

,

w

)

z

=

z

(

u

,

v

,

w

)

begin{cases} x = x(u, v, w)\ y = y(u, v, w)\ z = z(u, v, w) end{cases}

x=x(u,v,w)y=y(u,v,w)z=z(u,v,w)
​ 对其求全微分,有

d

x

=

x

u

d

u

+

x

v

d

v

+

x

w

d

w

d

y

=

y

u

d

u

+

y

v

d

v

+

y

w

d

w

d

z

=

z

u

d

u

+

z

v

d

v

+

z

w

d

w

dx = x_udu + x_vdv + x_wdw\ dy = y_udu + y_vdv + y_wdw\ dz = z_udu + z_vdv + z_wdw

dx=xudu+xvdv+xwdwdy=yudu+yvdv+ywdwdz=zudu+zvdv+zwdw
​ 这个式子可以理解为换基了,所以可以求出比值就是基变换行列式的值。

J

=

x

u

x

v

x

w

y

u

y

v

y

w

z

u

z

v

z

w

d

x

d

y

d

z

=

J

d

u

d

v

d

w

|J| = left|begin{matrix} x_u & x_v & x_w\ y_u & y_v & y_w\ z_u & z_v & z_w end{matrix}right|\ dxdydz = J cdot dudvdw

J=xuyuzuxvyvzvxwywzwdxdydz=Jdudvdw
​ 这就是根本原理。

​ 另外说一下书上的标记,书上有如下记号

(

x

,

y

,

z

)

(

u

,

v

,

w

)

=

[

x

u

x

v

x

w

y

u

y

v

y

w

z

u

z

v

z

w

]

frac{partial (x, y, z)}{partial (u, v, w)} = left[begin{matrix} x_u & x_v & x_w\ y_u & y_v & y_w\ z_u & z_v & z_w end{matrix}right]

(u,v,w)(x,y,z)=xuyuzuxvyvzvxwywzw
​ 常见的雅克比行列式的值,有柱坐标系的

r

r

r ,还有球坐标系的

r

2

sin

ϕ

r^2sinphi

r2sinϕ (phi是0到pi的那个),极坐标系的

r

r

r

3.5 三个积分公式

L

P

d

x

+

Q

d

y

=

S

x

y

P

Q

d

x

d

y

oint_L Pdx + Qdy = iint_S left | begin{matrix} frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} \ P & Q end{matrix} right | dxdy

LPdx+Qdy=SxPyQdxdy

​ 格林公式可以用于将二重积分转换成第二型曲线积分(就是普通积分),需要通过简单构造

S

=

1

2

x

d

y

y

d

x

S = frac{1}{2}oint xdy - ydx

S=21xdyydx

L

P

d

x

+

Q

d

y

+

R

d

z

=

S

d

y

d

z

d

z

d

x

d

x

d

y

x

y

z

P

Q

R

oint_L Pdx + Qdy + Rdz = iint_S left | begin{matrix} dydz & dzdx & dxdy \ frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} & frac{partial}{partial z} \ P & Q & R end{matrix} right |

LPdx+Qdy+Rdz=SdydzxPdzdxyQdxdyzR

S

P

d

y

d

z

+

Q

d

z

d

x

+

R

d

x

d

y

=

V

(

P

x

+

Q

y

+

R

z

)

d

x

d

y

d

z

oiint_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = iiint_V (frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y} + frac{partial R}{partial z})dxdydz

SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=V(xP+yQ+zR)dxdydz


四、解析几何

4.1 切向量和法向量

​ 这个章节我已经总结无数次了,但是每次都忘,实在是没有办法了。只好再次写一次了,就很无奈。

4.1.1 求垂直于两个向量的第三个向量

​ 我们都知道可以用形式行列式来求解,就是这样:

[

i

j

k

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

]

left[ begin{matrix} i & j & k\ x_1 & y_1 & z_1\ x_2 & y_2 & z_2 end{matrix} right]

ix1x2jy1y2kz1z2
​ 最后求解出来就是这样(用n表示法向量,因为n是normal vector的意思)

n

=

(

y

1

z

2

y

2

z

1

,

x

2

z

1

x

1

z

2

,

x

1

y

2

x

2

y

1

)

n = (y_1z_2-y_2z_1, x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)

n=(y1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1)
​ 但是其实这个并不本质,最本质的是用的是当两个向量垂直时,他们点乘为0这个性质,列出两个式子,这样:

{

x

1

x

+

y

1

y

+

z

1

z

=

0

x

2

x

+

y

2

y

+

z

2

z

=

0

begin{cases}x_1x+y_1y+z_1z = 0\x_2x+y_2y+z_2z = 0end{cases}

{x1x+y1y+z1z=0x2x+y2y+z2z=0
​ 然后这个再转换成一个矩阵相乘的形式

[

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

]

n

=

0

left[ begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1\ x_2 & y_2 & z_2 end{matrix} right]cdot n = 0

[x1x2y1y2z1z2]n=0
​ n对应一个基础解系。然后最对称的一个就是上面那个用形式行列式解出来的那个。

4.1.2 已知法向量求过定点的平面

​ 这个其实也是垂直的向量点乘等于0的应用,因为是法向量,所以他应该与平面内的任何一条直线垂直,所以我们利用这个性质,可以列出一个等式

n

[

x

x

0

y

y

0

z

z

0

]

=

0

ncdotleft[begin{matrix}x-x_0\y-y_0\z-z_0end{matrix}right] = 0

nxx0yy0zz0=0
​ 如果要是将其写开,可以整理成很漂亮的形式,如下

x

n

x

+

y

n

y

+

z

n

z

=

x

n

x

0

+

y

n

y

0

+

z

n

z

0

x_nx+y_ny+z_nz = x_nx_0+y_ny_0+z_nz_0

xnx+yny+znz=xnx0+yny0+znz0
​ 正因为如此,当我们看见一个一般平面的时候,可以很轻易的写出他的法向量。

A

x

+

B

y

+

C

z

+

D

=

0

,

n

=

(

A

,

B

,

C

)

Ax+By+Cz+D=0,n=(A, B,C)

Ax+By+Cz+D=0,n=(A,B,C)

4.1.3 参数方程表示的曲线的切向量和法平面

​ 其实最自然的是曲线方程就是参数方程,尤其是那种带t的,t最好是曲线的长度,然后x,y,z是t在三个面上的投影,简直完美,所以对于,我们可以很容易想到,当参数方程式这样的

{

x

=

x

(

t

)

y

=

y

(

t

)

z

=

z

(

t

)

begin{cases}x = x(t)\y = y(t)\z = z(t)end{cases}

x=x(t)y=y(t)z=z(t)
他的切向量是

n

=

(

x

(

t

)

,

y

(

t

)

,

z

(

t

)

)

n = (x^prime(t),y^prime(t),z^prime(t))

n=(x(t),y(t),z(t))
然后根据4.1.2的内容,可以求它的法平面

x

(

t

0

)

x

+

y

(

t

0

)

y

+

z

(

t

0

)

z

=

x

(

t

0

)

x

(

t

0

)

+

y

(

t

0

)

y

(

t

0

)

+

z

(

t

0

)

z

(

t

0

)

x^prime(t_0)x+y^prime(t_0)y+z^prime(t_0)z=x^prime(t_0)x(t_0)+y^prime(t_0)y(t_0)+z^prime(t_0)z(t_0)

x(t0)x+y(t0)y+z(t0)z=x(t0)x(t0)+y(t0)y(t0)+z(t0)z(t0)

4.1.4 对“方程组表示的曲线的切向量和法平面”书上解法的批判

​ 方程组表示的曲线长成这个样子

{

F

(

x

,

y

,

z

)

=

0

G

(

x

,

y

,

z

)

=

0

begin{cases}F(x,y,z) = 0\G(x,y,z)=0end{cases}

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
​ 可以看出,远远没有参数形式直观,那么应该怎么办呢?书上给了一种我要批判的方法,这种方法就是强行将其转换为参数方程然后套用4.1.3的形式,具体说来,就是把x看为参数,然后就可以这样

{

x

=

x

y

=

y

(

x

)

z

=

z

(

x

)

begin{cases}x=x\y=y(x)\z=z(x)end{cases}

x=xy=y(x)z=z(x)
​ 那么

y

(

x

)

,

z

(

x

)

y^prime(x),z^prime(x)

y(x),z(x)怎么求呢?当然是隐函数求导了(这个也是要批判的点,具体原因见2.1),可以获得一个方程组

{

F

x

+

F

y

y

(

x

)

+

F

z

z

(

x

)

=

0

G

x

+

G

y

y

(

x

)

+

G

z

z

(

x

)

=

0

begin{cases}F_x+F_yy^prime(x)+F_zz^prime(x) = 0\G_x+G_yy^prime(x)+G_zz^prime(x) = 0end{cases}

{Fx+Fyy(x)+Fzz(x)=0Gx+Gyy(x)+Gzz(x)=0
​ 然后书上最骚的是,居然还不老老实实解,还非得用一下克莱姆法则(还是先给结论,后给推导,都不知道这俩其实是一种方法)

[

F

y

F

z

G

y

G

z

]

[

y

z

]

=

[

F

x

G

x

]

left[begin{matrix}F_y & F_z\G_y & G_zend{matrix}right]cdot left[begin{matrix}y^prime\z^primeend{matrix}right]= -left[begin{matrix}F_x\G_xend{matrix}right]

[FyGyFzGz][yz]=[FxGx]
​ 然后就可以解出来了,其他就梳理成章了。

4.1.5 曲面的直观理解

​ 在4.1.2中,我们在最后介绍了如何从平面的方程观察性质(法向量)。现在介绍一下面对曲线方程,如何求法向量。

​ 这其实还是建立在对曲面的直观理解上,我个人感觉,应该将平面方程更换为这个

F

x

d

x

+

F

y

d

y

+

F

z

d

z

=

0

F_xdx+F_ydy+F_zdz=0

Fxdx+Fydy+Fzdz=0
​ 这个接近以直代曲的思想,考虑平面,有

A

x

+

B

y

+

C

z

+

D

=

0

Ax+By+Cz+D=0

Ax+By+Cz+D=0
​ 那么将x,y,z换成dx,dy,dz,就是将一小片曲面看成平面,此时这个平面的法向量就是

(

F

x

,

F

y

,

F

z

)

(F_x,F_y,F_z)

(Fx,Fy,Fz) ,然后往上积分,就可以得到

F

(

x

,

y

,

z

)

=

C

F(x,y,z) = C

F(x,y,z)=C
​ 这就是我们熟悉的曲面的一般形式。

​ 总结一下,就是有了这个直观感觉,当给定一个曲面方程的时候,就可以写出它在任一点的法向量

(

F

x

,

F

y

,

F

z

)

(F_x,F_y,F_z)

(Fx,Fy,Fz)

4.1.6 直观化方程组表示的曲线

​ 有了4.1.5的基础,我们就可以对方程组表示的曲线有了一个更深的理解,我们首先将方程组写成这个样子

{

F

x

d

x

+

F

y

d

y

+

F

z

d

z

=

0

G

x

d

x

+

G

y

d

y

+

G

z

d

z

=

0

begin{cases}F_xdx+F_ydy+F_zdz=0\G_xdx+G_ydy+G_zdz=0end{cases}

{Fxdx+Fydy+Fzdz=0Gxdx+Gydy+Gzdz=0
​ 也就是说,所谓曲线,就是在任意点(x,y,z)都保证他的(dx,dy,dz)与两个平面在此点的法向量都垂直(因为直线同时在两个面上),这样,就是(dx,dy,dz)是法向量,那么两个方程解三个未知量,刚好符合法向量的定义(定方向,不定长)。

​ 然后解完法向量以后,就可以再求切平面了。

4.1.7 参数方程的曲面的切平面和法向量

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