现代控制理论课程实验三：一阶倒立摆的LQR控制器设计
现代控制理论课程实验三：一阶倒立摆的LQR控制器设计
一、实验目的
1、理解并掌握线性状态反馈控制的原理和方法；
2、理解并掌握LQR控制器设计方法；
3、练习控制性能比较与评估的方法。
二、实验设备与软件
实验设备
- 倒立摆实验台
实验软件
- MATLAB软件
三、实验原理
3.1、被控对象模型及其线性化
倒立摆系统的各量含义与关系如下表和下图。
根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程，计及 u = F ，可得到
如下所示
该状态方程输入是加速度，输出是小车位置和摆杆角度。而小车的位置和摆杆角度以及它们的导数均可以通过传感器测量，所以在系统可控制的情况下，可以利用状态反馈综合控制器改善性能。
3.2、时不变线性连续系统的状态反馈控制与线性二次型最优控制LQR
- 对时不变线性连续系统
3.3、实验平台的基本原理与使用指南
倒立摆系统的控制结构框图如下
“Pendulum”模块内部包含三种模块，每种模块的具体功能是通过S-Function实现的，这里不做介绍。其中“Set Car’s Vcc and Vel”模块的作用是设置小车运动的速度和加速度，“Get Car’s Position”模块的作用是读取小车当前的实际位置，“Get Pend’s Angle”的作用是角度编码器读取摆杆当前摆起的实际角度，该角度顺时针为“+”，逆时针为“-” （以竖直向下的状态为起始状态，见图1）。这里需要注意的是，由于编码器所读脉冲的正负号与实际需要的数符号相瓣，所以编码器输出经过一个负的比例增益后转化为输出角度
另外，在Simulink中搭建系统模型时，需要将Inverted_Pendulum_RealTime_lib中的GT400-SV Initialization模块放到编辑的模型中。
四、实验内容
动手实验与分析：
基于式(6)所示的倒立摆模型(控制摆角和位置)，根据原系统的特点设计LQR最优控制器，并分析参数 和 阵的选取对系统的影响。实物实验前先进行理论分析计算(包括能控性分析和稳定性分析，指标转化计算，可以编制相应的程序计算，也可以手算)，并在MATLAB/Simulink中进行离线数值计算分析，调整相关参数，合适后在倒立摆平台上做在线实验，比较仿真结果与实验结果。
4.1、MATLAB仿真结果
系统的MATLAB/Simulink仿真图如下
4.2、MATLAB程序如下
clear;
A = [ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0 ];
B = [ 0 1 0 3 ]';
C = [ 1 0 0 0; 0 0 1 0 ];
D = [ 0 0 ]';
Gs = ss(A, B, C, D);
Qc = ctrb(A, B); % 可控矩阵
Qo = obsv(A, C); % 可观测矩阵
rankQc = rank(Qc); % 求可控矩阵的秩
rankQo = rank(Qo); % 求可控矩阵的秩
if rankQc == 4
disp('系统可控');
else
disp('系统不可控');
end
if rankQo == 4
disp('系统可观');
else
disp('系统不可观');
end
4.2.1、判断系统的能控与能观性
判断系统的能控与能观性运行如下
>> shiYan3
系统可控
系统可观
- 由运行结果可知，系统可控、客观。
4.2.2、求系统的极点
求系统的极点的代码如下
P = poly(A); % 特征多项式
rootP = roots(P); % 极点
disp(rootP);
求系统的极点运行结果如下
>> shiYan3
系统可控
系统可观
0
0
5.4222
-5.4222
- 可以知道系统有一个极点在右边，系统不稳定。
4.2.3、进行极点配置
ζ=0.8、ζ=0.707、ζ=0.316
设计状态反馈阵时，要使系统的极点设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定。我们设置系统的最大超调量小于等于8%，调节时间为小于等于5 S。运用超调量的计算公式可以计算出ε= 0.63；ts=5s，可以求得Wn≥0.95。用极点公式为P1,2=-εw + iw√1-εz,得到两个配置的共轭极点为: -0.6士0.74i。选取非主导极点距虚轴的距离为主导极点距虚轴的距离的5倍以上：所以可以两个非主导极点为：-10。
进行极点配置MATLAB程序代码如下：
p = [-0.6 + 0.74j -0.6 - 0.74j -10 -10]; % 极点配置
K = acker(A, B, p);
disp(K);
进行极点配置运行如下
-3.0871 -4.6990 52.4649 8.6330
MATLAB仿真如下
- 由仿真结果可知，系统的调节时间5s左右，系统的摆杆最终稳定在0的位置。
4.3、线性二次型最优控制LQR求出配置极点
线性二次型最优控制LQR求出配置极点代码如下所示
% 线性二次型最优控制LQR求出配置极点
Q = [1000 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 1000 0; 0 0 0 0];
R = 1;
LQR_K = lqr(A, B, Q, R);
disp(LQR_K);
线性二次型最优控制LQR求出配置极点运行如下
-31.6228 -21.7963 83.4140 14.2355
线性二次型最优控制LQR求出配置极点MATLAB仿真如下
- 由仿真结果可知，线性二次型最优控制LQR求出配置极点，使系统的调节时间降低到了2s，摆杆的摆动幅度更小。
五、实验室运行结果
在实验室进行实物倒立摆的控制，设计的控制模型与系统的运行结果如下
控制系统模型
系统正常运行的效果图
系统在扰动下的运行结果
六、实验总结
一阶倒立摆的LQR控制器设计的实验总结如下几点所示
- 1、通过实验，理解并掌握了线性状态反馈控制的原理和方法。运用状态反馈可以配置系统的极点到任意的位置。
- 2、理解并掌握LQR控制器设计方法。
- 3、通过实验掌握了利用状态反馈配置极点的前提：对系统进行能控与能观性的判断。
- 4、通过实验，加强了动手实践与理论相结合的能力。