机器人导论（第四版）学习笔记——第三章
机器人导论（第四版）学习笔记——第三章
3 操作臂运动学
3.1 引言
运动学只研究运动特性，不考虑施加的力。
操作臂运动学涉及所有与运动有关的几何参数和与时间有关的性质。
本章重点是把操作臂关节变量作为自变量，描述操作臂末端执行器与操作臂基座之间的函数关系。
3.2 连杆的描述
操作臂=以关节连成的运动链的刚体。这些刚体称为连杆。
刚体间的相对运动是两个平面之间的相对滑动时，称为低副。低副有6种，转动副，移动副，圆柱副，平面副，螺旋副和球面副。
设计机器人时，优先选择一个自由度的关节。（转动、移动关节）
基座定义为连杆0，第一个可动连杆定义为连杆1，以此类推，最后一个为连杆n。为实现任何位置和姿态，需要至少6个关节。
连杆i绕关节轴i相对于连杆i-1转动，轴i-1与轴i之间的距离
a
i
−
1
a_{i-1}
ai−1即为连杆i-1的长度，夹角为
α
i
−
1
alpha_{i-1}
αi−1。夹角按照右手定则，绕公垂线从i-1转向轴线i。
3.3 连杆连接的描述
处于运动链中间的连杆
相邻两个连杆之间有一个公共转轴，沿两个连杆公共轴线方向的距离可以用连杆偏距来描述。关节轴i上的偏距记为
d
i
d_i
di；两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角称为关节角，记为
θ
i
theta_i
θi。
当关节i为移动关节时，
d
i
d_i
di是一个变量；
当关节i为转动关节时，
θ
i
theta_i
θi是一个变量。
运动链中首末端连杆
如果1为转动关节，
θ
1
theta_1
θ1的零位任取，
d
1
d_1
d1=0；
如果1为移动关节，
d
1
d_1
d1的零位任取，
θ
1
theta_1
θ1=0。
a
0
=
a
n
=
0
a_0=a_n=0
a0=an=0，
α
0
=
α
n
=
0
alpha_0=alpha_n=0
α0=αn=0
连杆参数
每个连杆用4个参数来表达，2个用来描述连杆本身，2个用来描述相互之间的连接关系。
转动关节：
θ
i
theta_i
θi为关节变量，其他三个参数固定不变
移动关节：
d
i
d_i
di为关节变量，其他三个参数固定不变
连杆参数描述机构运动关系的方法称为Denavit-Hartenber方法。一个6关节机器人，18个参数即可描述这些固定的运动参数，如果是6个转动关节，则18个参数可以分为6组，
(
a
i
,
α
i
,
d
i
)
(a_i,alpha_i,d_i)
(ai,αi,di)。
3.4 连杆坐标系的定义
为了描述每个连杆与相邻连杆之间的相对位置关系，在每个连杆上定义一个固连坐标系，连杆i对应坐标系{i}。
运动链中间位置连杆坐标系的定义
Z轴与关节轴重合，原点位于公垂线与关节轴交点处，X轴沿公垂线指向下一个关节轴，Y轴遵循右手定则。
运动链首末端连杆坐标系的定义
基座（连杆0）上的坐标系固定不动，一般作为参考坐标系。参考坐标系可任意设定，但通常设定
Z
^
0
hat Z_0
Z^0轴沿关节轴1的方向，且当关节变量1为0时，坐标系{0}与坐标系{1}重合。因此总有
a
0
=
0
,
α
0
=
0
a_0=0, alpha_0=0
a0=0,α0=0。对转动关节而言，
d
1
=
0
d_1=0
d1=0，对移动关节而言，
θ
1
=
0
theta_1=0
θ1=0。
对于转动关节n，当
θ
n
=
0
theta_n=0
θn=0时，
X
^
N
hat X_N
X^N与
X
^
N
−
1
hat X_{N-1}
X^N−1方向相同，选择{N}的原点，使之满足
d
n
=
0
d_n=0
dn=0。
对于移动关节n，设定
X
^
N
hat X_N
X^N轴的方向使之满足
θ
N
=
0
theta_N=0
θN=0，当
d
n
=
0
d_n=0
dn=0时选取坐标系{N}的原点位于
X
^
N
−
1
hat X_{N-1}
X^N−1轴与关节轴n的交点。
连杆参数在坐标系中的表示方法
a
i
a_i
ai：沿
X
^
i
hat X_i
X^i轴，从
Z
^
i
hat Z_i
Z^i移动到
Z
^
i
+
1
hat Z_{i+1}
Z^i+1轴的距离
α
i
alpha_i
αi：绕
X
^
i
hat X_i
X^i轴，从
Z
^
i
hat Z_i
Z^i旋转到
Z
^
i
+
1
hat Z_{i+1}
Z^i+1轴的角度
d
i
d_i
di：沿
Z
^
i
hat Z_i
Z^i轴，从
X
^
i
−
1
hat X_{i-1}
X^i−1移动到
X
^
i
hat X_i
X^i轴的距离
θ
i
theta_i
θi：沿
X
^
i
hat X_i
X^i轴，从
X
^
i
−
1
hat X_{i-1}
X^i−1旋转到
X
^
i
hat X_i
X^i轴的角度
连杆坐标系的建立步骤
- 找出各关节轴，并标出轴的延长线
- 找出轴i与轴i+1之间的公垂线或两轴之间的交点，以此交点或公垂线与i轴交点为原点，确定坐标系{i}的原点
- 规定
Z
^
i
hat Z_i
Z^i轴的指向 - 规定
X
^
i
hat X_i
X^i轴沿着公垂线的指向，如为相交两周，则规定垂直两轴平面的指向 - 按照右手定则确定
Y
^
i
hat Y_i
Y^i轴的指向 - 当第一个关节变量为0时，令坐标系{0}与坐标系{1}重合。对于坐标系{N}，其原点和
X
^
N
hat X_N
X^N的方向可以任意选取，选取时尽量使两岸参数为0。
3.5 操作臂运动学
推导相邻连杆之间坐标变换的一般形式，然后将这些独立的变换联系起来求出连杆n对于连杆0的位置和姿态，是本节的核心。
连杆变换的推导
这里用到了科学方法论，将此问题分解成n个
i
i
−
1
T
^{i-1}_iT
ii−1T的求解，再将单个
i
i
−
1
T
^{i-1}_iT
ii−1T分解成4个独立变换，每个变换对应一个连杆参数
坐标系i对于坐标系i-1的推导，即
i
i
−
1
T
^{i-1}_iT
ii−1T
取三个中间坐标系，{P},{Q},{R}
由于旋转了
α
i
−
1
alpha_{i-1}
αi−1，{R}与{i-1}不同
由于平移了
a
i
−
1
a_{i-1}
ai−1，{Q}与{R}不同
由于旋转了
θ
i
theta_i
θi，{P}与{Q}不同
由于平移了
d
i
d_i
di，{i}与{P}不同
因此如果想把坐标系{i}中的矢量变换成{i-1}中的矢量，即可写成：
i
−
1
P
=
R
i
−
1
T
P
Q
T
i
P
T
i
P
=
i
i
−
1
T
P
^{i-1}P=^{i-1}_RT^Q_PT^P_iT^iP=^{i-1}_iTP
i−1P=Ri−1TPQTiPTiP=ii−1TP
即：
i
i
−
1
T
=
R
i
−
1
T
Q
R
T
P
Q
T
i
P
T
^{i-1}_iT=^{i-1}_RT^R_QT^Q_PT^P_iT
ii−1T=Ri−1TQRTPQTiPT
由上述变换，则可写成
i
i
−
1
T
=
R
X
(
α
i
−
1
)
D
X
(
a
i
−
1
)
R
Z
(
θ
i
)
D
Z
(
d
i
)
^{i-1}_iT=R_X(alpha_{i-1})D_X(a_{i-1})R_Z(theta_i)D_Z(d_i)
ii−1T=RX(αi−1)DX(ai−1)RZ(θi)DZ(di)
还可写成
i
i
−
1
T
=
S
c
r
e
w
X
(
a
i
−
1
,
α
i
−
1
)
S
c
r
e
w
(
d
i
,
θ
i
)
^{i-1}_iT=Screw_X(a_{i-1},alpha_{i-1})Screw(d_i,theta_i)
ii−1T=ScrewX(ai−1,αi−1)Screw(di,θi)，Screw为算子，表示先平移再旋转
连乘即可得到结果：
i
i
−
1
T
=
(
c
θ
i
−
s
θ
i
0
a
i
−
1
s
θ
i
c
α
i
−
1
c
θ
i
c
α
i
−
1
−
s
α
i
−
1
−
s
α
i
−
1
d
i
s
θ
i
s
α
i
−
a
c
θ
i
s
α
i
−
1
c
α
i
−
1
c
α
i
−
1
d
i
0
0
0
1
)
^{i-1}_iT=left(begin{matrix} ctheta_i & -stheta_i & 0 & a_{i-1}\ stheta_icalpha_{i-1} & ctheta_icalpha_{i-1} & -salpha_{i-1} & -salpha{i-1}d_i\ stheta_isalpha_{i-a} & ctheta_isalpha_{i-1} & calpha_{i-1} & calpha_{i-1}d_i\ 0 & 0 & 0 & 1\ end{matrix}right)
ii−1T=⎝⎜⎜⎛cθisθicαi−1sθisαi−a0−sθicθicαi−1cθisαi−100−sαi−1cαi−10ai−1−sαi−1dicαi−1di1⎠⎟⎟⎞
连杆变换的连乘
N
0
T
=
1
0
T
2
1
T
⋯
N
N
−
1
T
^0_NT=^0_1T^1_2T cdots ^{N-1}_{N}T
N0T=10T21T⋯NN−1T，是关于n个关节变量的函数，如果通过传感器测出每个关节变量，即可计算出末端位置和姿态。
3.6 驱动空间、关节空间和笛卡尔空间
n个关节变量组成一个nx1的关节向量，所有关节向量组成的空间被称作关节空间。相应的有驱动空间和笛卡尔空间。从驱动空间
→
to
→关节空间
→
to
→笛卡尔空间的计算被称为正运算，反之为逆运算。
3.7 实例：两种工业机器人的运动学问题
分别是Unimation公司的PUMA 560机器人和Yasukawa公司的Motoman L-3机器人。
3.8 坐标系的标准命名
基座标系{B}： 即基座上的坐标系{0}
固定坐标系{S}： 桌子角上的坐标系，也叫任务坐标系、世界坐标系或通用坐标系
腕部坐标系{W}： 操作臂末端连杆上的坐标系，也叫{N}，原点位于操作臂手腕上
工具坐标系{T}： 附于机器人所夹持工具的末端，没有工具时，原点位于机器人的指尖之间
目标坐标系{G}： 对机器人移动工具要达到的位置的描述，即运动结束时，工具坐标系需与目标坐标系重合
3.9 工具的位置
变换方程
T
S
T
=
S
B
T
−
1
W
B
T
T
W
T
^S_T{T} = ^B_ST^{-1}{^B_WT}^W_TT
TST=SBT−1WBTTWT一般被称为定位函数，用它可以计算手臂的位置。
3.10 计算问题
浮点数or定点数表示变量，由于变化范围较小，用定点数表示可以减少运算量。
做因式分解，以增加局部变量的代价减少乘法和加法次数。
正余弦采用查表法。
姿态求解时，先计算前两列，第三列是前两列做叉乘。