信号与系统复习笔记——拉普拉斯变换和Z变换

admin • 2023-06-17 20:50 • 研发管理

信号与系统复习笔记——拉普拉斯变换和Z变换

拉普拉斯变换

一个LTI系统对信号

e^{st}

$e^{s t}$ 的响应为：

(

)

(

)

y(t) = H(s) e^{st}

$y (t) = H (s) e^{s t}$

其中特征函数

(

)

H(s)

$H (s)$ 为：

(

)

∫

−

∞

(

)

−

H(s) = int_{-infty}^{+infty} h(t)e^{-st} dt

$H (s) = \int_{- \infty + \infty} h (t) e^{- s t} d t$

一个信号的拉普拉斯变换为：

(

)

∫

−

∞

(

)

−

X(s) = int_{-infty}^{+infty} h(t)e^{-st} dt

$X (s) = \int_{- \infty + \infty} h (t) e^{- s t} d t$

当

s = jomega

$s = jω$ 的时候，拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。

复数

$s$ 可以表示为

s = sigma + jomega

$s = σ + jω$ ，那么拉普拉斯变换可以表示为：

(

)

∫

−

∞

[

(

)

−

]

−

X(sigma + jomega) = int_{-infty}^{+infty} [x(t)e^{- sigma t}] e^{- jomega t} dt

$X (σ + jω) = \int_{- \infty + \infty} [x (t) e^{- σ t}] e^{- jω t} d t$

这等于信号

(

)

−

x(t)e^{- sigma t}

$x (t) e^{- σ t}$ 的傅里叶变换，我们称

−

e^{- sigma t}

$e^{- σ t}$ 为拉普拉斯衰减因子。

注意到，一个信号的拉普拉斯变换并非对于所有的

$s$ 都收敛，我们称能使拉普拉斯变换积分收敛的所有

$s$ 的集合称为 收敛域 或是 ROC。

对于有理的拉普拉斯变换可以表示为：

(

)

(

)

(

)

X(s) = frac{N(s)}{D(s)}

$X (s) = \frac{N ( s )}{D ( s )}$

我们称

(

)

N(s) = 0

$N (s) = 0$ 的根称为零点而

(

)

D(s) = 0

$D (s) = 0$ 的根称为极点。在

$s$ 平面内标注零点和极点称为零-极点图。

拉普拉斯变换的收敛域

两个不同的信号可能对应一个相同的拉普拉斯变换，但其收敛域却不相同。

性质一：

X

(

s

)

X(s)

$X (s)$ 的收敛域在

s

s

$s$ 平面内由平行于

j

ω

jomega

$jω$ 轴的带状区域组成。

因为要满足

(

)

−

x(t)e^{-sigma t}

$x (t) e^{- σ t}$ 绝对可积，因此只和

sigma

$σ$ 有关。

性质二：

X

(

s

)

X(s)

$X (s)$ 的收敛域内不包含极点。

性质三：若

x

(

t

)

x(t)

$x (t)$ 是时间有限且有界的信号，那么收敛域就是整个

s

s

$s$ 平面。

性质四：若

x

(

t

)

x(t)

$x (t)$ 是右边信号，并且

ℜ

s

=

ω

0

Re{s} = omega_0

$ℜ s = ω_{0}$ 这条线位于收敛域内，那么

ℜ

s

>

ω

0

Re{s} > omega_0

$ℜ s > ω_{0}$ 的全部

s

s

$s$ 值都在收敛域内。

进一步，若点

s_0

$s_{0}$ 在收敛域内，那么点

s_0

$s_{0}$ 的 右半平面 收敛。

性质五：若

x

(

t

)

x(t)

$x (t)$ 是左边信号，并且

ℜ

s

=

ω

0

Re{s} = omega_0

$ℜ s = ω_{0}$ 这条线位于收敛域内，那么

ℜ

s

<

ω

0

Re{s} < omega_0

$ℜ s < ω_{0}$ 的全部

s

s

$s$ 值都在收敛域内。

进一步，若点

s_0

$s_{0}$ 在收敛域内，那么点

s_0

$s_{0}$ 的 左半平面 收敛。

性质六：若

x

(

t

)

x(t)

$x (t)$ 是双边信号，并且存在收敛域，那么收敛域一定是一条带状区域。

因为收敛域内不存在极点，推出下面两个推论：

性质七：若

x

(

t

)

x(t)

$x (t)$ 的拉普拉斯变换是有理的，那么他的收敛域总是被极点所界定或延伸到无限远处。另外，在收敛域内不包含任何的极点。

性质八：若

x

(

t

)

x(t)

$x (t)$ 的拉普拉斯变换是有理的，那么若

x

(

t

)

x(t)

$x (t)$ 是右边信号，其收敛域在

s

s

$s$ 平面上位于最右边极点的右边，若

x

(

t

)

x(t)

$x (t)$ 是左边信号，其收敛域在

s

s

$s$ 平面上位于最左边极点的左边。

拉普拉斯逆变换

通过傅里叶的逆变换我们可以得到：

(

)

−

∫

−

∞

(

)

x(t)e^{-sigma t} = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{+infty} X(sigma + jomega) e^{jomega t} domega

$x (t) e^{- σ t} = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty + \infty} X (σ + jω) e^{jω t} d ω$

得到：

(

)

∫

−

∞

(

)

(

)

x(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{+infty} X(sigma + jomega) e^{(sigma+jomega) t} domega

$x (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty + \infty} X (σ + jω) e^{(σ + jω) t} d ω$

令

s = sigma + jomega

$s = σ + jω$ 则

(

−

)

omega = (s - sigma) / j

$ω = (s - σ) / j$ 那么

domega = frac{1}{j} ds

$d ω = \frac{1}{j} d s$ 导出为：

(

)

∫

−

∞

(

)

x(t) = frac{1}{2 pi j} int_{sigma -jinfty}^{sigma + jinfty} X(s) e^{st} ds

$x (t) = \frac{1}{2 πj} \int_{σ - j \infty σ + j \infty} X (s) e^{s t} d s$

上式称为拉普拉斯逆变换，积分区域可以找在收敛域内的任意一条直线

ℜ

Re{s} = sigma

$ℜ s = σ$ 。

利用零极点图对傅里叶变换进行几何求解

对于一个有理拉普拉斯的形式，可以表示为零点项和极点项的乘积所组成的：

(

)

∏

(

−

)

∏

(

−

)

X(s) = M frac{prod_{i=1}^R (s - beta_i)}{prod_{j=1}^P (s - alpha_j)}

$X (s) = M \frac{\prod _{i = 1 R} ( s - β _{i} )}{\prod _{j = 1 P} ( s - α _{j} )}$

为了求取

(

)

X(s)

$X (s)$ 在

s=s_1

$s = s_{1}$ 处的值，上面每一项都可以表示为零点极点到点

s_1

$s_{1}$ 的向量表示，模长就是零点向量长度的乘积除以极点向量的乘积再乘以

$M$ ，而辐角就是零点向量的辐角和减去极点向量的辐角，若

$M$ 是负的则还要加一个附加辐角

$π$ 。

特别的，傅里叶变换即在轴

sigma=0

$σ = 0$ 处移动。

拉普拉斯变换的性质

性质	信号	拉普拉斯变换	收敛域
线性	$ax_1(t) + bx_2(t) ax1(t)+bx2(t)$	$xX_1(s)+bX_2(s) xX1(s)+bX2(s)$	至少是 $R_1 cap R_2 R1∩R2$
时移	$t_0) x(t−t0)$	$e^{-st_0}X(s) e−st0X(s)$
	$e^{s_0t}x(t) es0tx(t)$	$s_0) X(s−s0)$	$Re{s_0} R+ℜs0$
时域尺度变换		$1 ∣ a ∣ X ( s a ) frac{1}{\|a\|}X(frac{s}{a})$	$R a frac{R}{a}$
共轭	$x^*(t) x∗(t)$	$X^(s^) X∗(s∗)$
卷积	$x_1(t) ast x_2(t) x1(t)∗x2(t)$	$X_1(s)X_2(s) X1(s)X2(s)$	至少是 $R_1 cap R_2 R1∩R2$
时域微分	$d x ( t ) d t frac{dx(t)}{dt}$		至少是
		$d X ( s ) s frac{dX(s)}{s}$
时域积分	$int_{-infty}^t x(tau) dtau ∫−∞tx(τ)dτ$	$1 s X ( s ) frac{1}{s}X(s)$	至少是

初值和终值定理：

若

(

)

t < 0,x(t) = 0

$t < 0, x (t) = 0$ 且在

(

)

x(0)

$x (0)$ 处不包含任何的冲激和高阶的奇异函数，则：

(

)

lim

⁡

→

∞

(

)

x(0^+) = lim_{s to infty} sX(s)

$x (0^{+}) = s \to \infty lim s X (s)$

lim

⁡

→

∞

(

)

lim

⁡

→

(

)

lim_{t to infty} x(t) = lim_{s to 0} sX(s)

$t \to \infty lim x (t) = s \to 0 lim s X (s)$

常用拉普拉斯变换对

信号	变换	收敛域
		全部
	$1 s frac{1}{s}$
	$1 s frac{1}{s}$
$frac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t) (n−1)!tn−1u(t)$	$frac{1}{s^n} sn1$
$-frac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(-t) −(n−1)!tn−1u(−t)$	$frac{1}{s^n} sn1$
$e^{-at}u(t) e−atu(t)$	$1 s + a frac{1}{s+a}$
$-e^{-at}u(-t) −e−atu(−t)$	$1 s + a frac{1}{s+a}$
$frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(t) (n−1)!tn−1e−atu(t)$	$frac{1}{(s+a)^n} (s+a)n1$
$-frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(-t) −(n−1)!tn−1e−atu(−t)$	$frac{1}{(s+a)^n} (s+a)n1$
	$e^{-sT} e−sT$	全部
$[cos{omega_0 t}]u(t) [cosω0t]u(t)$	$frac{s}{s^2 + omega_0^2} s2+ω02s$
$[sin{omega_0 t}]u(t) [sinω0t]u(t)$	$frac{omega_0}{s^2 + omega_0^2} s2+ω02ω0$
$[e^{-at}cos{omega_0 t}]u(t) [e−atcosω0t]u(t)$	$a}{(s+a)^2 + omega_0^2} (s+a)2+ω02s+a$
$[e^{-at}sin{omega_0 t}]u(t) [e−atsinω0t]u(t)$	$frac{omega_0}{(s+a)^2 + omega_0^2} (s+a)2+ω02ω0$
$u_n(t) = frac{d^n delta(t)}{dt^n} un(t)=dtndnδ(t)$	$s^n sn$	全部
$u_{-n}(t) = u(t) ast u(t) ast ldots_n u−n(t)=u(t)∗u(t)∗…n$	$frac{1}{s^n} sn1$

拉普拉斯变换分析线性时不变系统

一个LTI系统和拉普拉斯变换的关系直接来自于卷积的性质：

(

)

(

)

(

)

Y(s) = H(s)X(s)

$Y (s) = H (s) X (s)$

其中

(

)

H(s)

$H (s)$ 称为系统函数、传递函数。

因果性

一个因果的LTI的单位冲激响应一定是一个右边信号，那么

(

)

H(s)

$H (s)$ 的收敛域一定是一个右半平面。反之不一定成立。

对于一个有理的系统函数来说，系统的因果性就等效于收敛域位于最右边极点的右边的右半平面。

稳定性

对于一个稳定的LTI系统，他的单位冲激响应是绝对可积的，也就等价于存在傅里叶变换，那么当且仅当系统函数

(

)

H(s)

$H (s)$ 的收敛域包括

jomega

$jω$ 轴的时候，即

ℜ

Re{s} = 0

$ℜ s = 0$ ，一个LTI系统是稳定的。

特别的，对于因果的LTI系统，其收敛域是右半平面，也就是当且仅当

(

)

H(s)

$H (s)$ 的全部极点都位于

$s$ 平面的左半平面的时候，即全部的极点都有负实部的时候，一个因果的LTI系统是稳定的。

Z 变换

对于离散信号，其单位脉冲响应对于离散的线性时不变系统对复指数

z^n

$z^{n}$ 的响应为：

[

]

(

)

y[n] = H(z) z^n

$y [n] = H (z) z^{n}$

其中：

(

)

∑

−

∞

[

]

−

H(z) = sum_{n = -infty}^{+infty} h[n]z^{-n}

$H (z) = n = - \infty \sum + \infty h [n] z^{- n}$

若

z = e^{jomega}

$z = e^{jω}$ 则为离散傅里叶变换。

一个离散信号的z变换定义为：

(

)

∑

−

∞

[

]

−

X(z) = sum_{n = -infty}^{+infty} x[n]z^{-n}

$X (z) = n = - \infty \sum + \infty x [n] z^{- n}$

一般的我们通过指数形式表示复指数底数

z = re^{jomega}

$z = r e^{jω}$ ，那么就可以写成：

(

)

∑

−

∞

[

]

−

]

−

X(re^{jomega}) = sum_{n = -infty}^{+infty} [x[n]r^{-n}]e^{-jomega n}

$X (r e^{jω}) = n = - \infty \sum + \infty [x [n] r^{- n}] e^{- jωn}$

也就是一个离散信号的z变换等于其

[

]

−

x[n]r^{-n}

$x [n] r^{- n}$ 的离散傅里叶变换。

注意到：

(

)

(

)

∣

X(e^{jomega}) = X(z)|_{z = e^{j omega}}

$X (e^{jω}) = X (z) ∣_{z = e^{jω}}$

那么傅里叶变换就称为在复数

$z$ 平面中，半径为

$1$ 的单位圆上。

同样的，类似与拉普拉斯变换，z变换也存在其收敛域ROC。

本图文内容来源于网友网络收集整理提供，作为学习参考使用，版权属于原作者。

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