线性代数行列式的几何含义

行列式可以看做是一系列列向量的排列，并且每个列向量的分量可以理解为其对应标准正交基下的坐标。

行列式有非常直观的几何意义，例如：

二维行列式按列向量排列依次是

a

mathbf{a}

a和

b

mathbf{b}

b，可以表示

a

mathbf{a}

a和

b

mathbf{b}

b构成的平行四边形的面积

∣

a

b

∣

=

∣

(

x

a

x

+

y

a

y

)

(

x

b

x

+

y

b

y

)

∣

=

x

a

x

b

∣

x

x

∣

+

x

a

y

b

∣

x

y

∣

+

y

a

x

b

∣

y

x

∣

+

y

a

y

b

∣

y

y

∣

=

x

a

x

b

(

0

)

+

x

a

y

b

(

+

1

)

+

y

a

x

b

(

−

1

)

+

y

a

y

b

(

0

)

=

x

a

y

b

−

y

a

x

b

.

begin{aligned} |mathbf{a b}| & =left|left(x_{a} mathbf{x}+y_{a} mathbf{y}right)left(x_{b} mathbf{x}+y_{b} mathbf{y}right)right| \ & =x_{a} x_{b}|mathbf{x} mathbf{x}|+x_{a} y_{b}|mathbf{x y}|+y_{a} x_{b}|mathbf{y} mathbf{x}|+y_{a} y_{b}|mathbf{y} mathbf{y}| \ & =x_{a} x_{b}(0)+x_{a} y_{b}(+1)+y_{a} x_{b}(-1)+y_{a} y_{b}(0) \ & =x_{a} y_{b}-y_{a} x_{b} . end{aligned}

∣ab∣​=∣(xa​x+ya​y)(xb​x+yb​y)∣=xa​xb​∣xx∣+xa​yb​∣xy∣+ya​xb​∣yx∣+ya​yb​∣yy∣=xa​xb​(0)+xa​yb​(+1)+ya​xb​(−1)+ya​yb​(0)=xa​yb​−ya​xb​.​

三维行列式按列向量排列依次是

a

mathbf{a}

a，

b

mathbf{b}

b和

c

mathbf{c}

c，可以表示

a

mathbf{a}

a，

b

mathbf{b}

b和

b

mathbf{b}

b构成的平行六面体的体积

∣

a

b

c

∣

=

∣

(

x

a

x

+

y

a

y

+

z

a

z

)

(

x

b

x

+

y

b

y

+

z

b

z

)

(

x

c

x

+

y

c

y

+

z

c

z

)

∣

=

x

a

y

b

z

c

−

x

a

z

b

y

c

−

y

a

x

b

z

c

+

y

a

z

b

x

c

+

z

a

x

b

y

c

−

z

a

y

b

x

c

.

begin{aligned} |mathbf{a b c}| & =left|left(x_{a} mathbf{x}+y_{a} mathbf{y}+z_{a} mathbf{z}right)left(x_{b} mathbf{x}+y_{b} mathbf{y}+z_{b} mathbf{z}right)left(x_{c} mathbf{x}+y_{c} mathbf{y}+z_{c} mathbf{z}right)right| \ & =x_{a} y_{b} z_{c}-x_{a} z_{b} y_{c}-y_{a} x_{b} z_{c}+y_{a} z_{b} x_{c}+z_{a} x_{b} y_{c}-z_{a} y_{b} x_{c} . end{aligned}

∣abc∣​=∣(xa​x+ya​y+za​z)(xb​x+yb​y+zb​z)(xc​x+yc​y+zc​z)∣=xa​yb​zc​−xa​zb​yc​−ya​xb​zc​+ya​zb​xc​+za​xb​yc​−za​yb​xc​.​