【考研数学】概率论与数理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布（3，二维随机变量函数的分布）
七、二维随机变量函数的分布
7.1 二维随机变量函数分布的基本情形
设
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 为二维随机变量，以
X
,
Y
X,Y
X,Y 为变量所构成的二元函数
Z
=
φ
(
X
,
Y
)
Z=varphi(X,Y)
Z=φ(X,Y) ，称为随机变量
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 的函数，其分布一般有如下几种情形：
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 为二维离散型随机变量
设
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 联合分布律为
P
{
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
)
=
p
i
j
P{X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}
P{X=xi,Y=yj)=pij ，则
Z
=
φ
(
X
,
Y
)
Z=varphi(X,Y)
Z=φ(X,Y) 的分布律如下：
Z
∼
(
φ
(
x
1
,
y
1
)
φ
(
x
1
,
y
2
)
⋯
φ
(
x
m
,
y
1
)
⋯
p
11
p
12
⋯
p
m
1
⋯
)
,
Zsim begin{pmatrix} varphi(x_1,y_1) & varphi(x_1,y_2) & cdots & varphi(x_m,y_1) & cdots\ p_{11} & p_{12} & cdots & p_{m1} & cdots end{pmatrix},
Z∼(φ(x1,y1)p11φ(x1,y2)p12⋯⋯φ(xm,y1)pm1⋯⋯), 相同的取值需要合并。
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 为二维连续型随机变量
设
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y) 联合密度函数为
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 。
（1）当
Z
=
φ
(
X
,
Y
)
Z=varphi(X,Y)
Z=φ(X,Y) 为离散型时
求出
Z
Z
Z 的所有可能取值，再求出其对应的概率。
（2）当
Z
=
φ
(
X
,
Y
)
Z=varphi(X,Y)
Z=φ(X,Y) 为连续型时
首先计算
Z
Z
Z 的分布函数
F
Z
(
z
)
=
P
{
Z
≤
z
}
=
∬
φ
(
x
,
y
)
≤
z
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
F_Z(z)=P{Zleq z}=iint_{varphi(x,y)leq z}f(x,y)dxdy
FZ(z)=P{Z≤z}=∬φ(x,y)≤zf(x,y)dxdy ，那么
Z
Z
Z 的密度函数为：
f
Z
(
z
)
=
{
F
Z
′
(
z
)
,
z
为可导点
0
,
z
为不可导点
f_Z(z)=begin{cases} F'_Z(z),&z为可导点 \ 0,&z为不可导点 end{cases}
fZ(z)={FZ′(z),0,z为可导点z为不可导点
X
X
X 为离散型变量，
Y
Y
Y 为连续型变量
给出
X
X
X 的分布律，
Y
Y
Y 的概率密度，求
Z
=
φ
(
X
,
Y
)
Z=varphi(X,Y)
Z=φ(X,Y) 的分布时，一般用全概率公式。
若
X
∼
(
x
1
x
2
⋯
x
n
p
1
p
2
⋯
p
n
)
,
Xsim begin{pmatrix} x_1 & x_2 & cdots & x_n \ p_{1} & p_2 & cdots & p_{n} end{pmatrix},
X∼(x1p1x2p2⋯⋯xnpn),
Y
Y
Y 的边缘密度为
f
Y
(
y
)
f_Y(y)
fY(y) ，则有
F
Z
(
z
)
=
P
{
φ
(
X
,
Y
)
≤
z
}
=
P
{
X
=
x
1
,
φ
(
x
1
,
Y
)
≤
z
}
+
P
{
X
=
x
2
,
φ
(
x
2
,
Y
)
≤
z
}
F_Z(z)=P{varphi(X,Y)leq z}=P{X=x_1,varphi(x_1,Y)leq z}+P{X=x_2,varphi(x_2,Y)leq z}
FZ(z)=P{φ(X,Y)≤z}=P{X=x1,φ(x1,Y)≤z}+P{X=x2,φ(x2,Y)≤z}
+
⋯
+
P
{
X
=
x
n
,
φ
(
x
n
,
Y
)
≤
z
}
.
+cdots+P{X=x_n,varphi(x_n,Y)leq z}.
+⋯+P{X=xn,φ(xn,Y)≤z}.
7.2 常见二维随机变量的函数及其分布
Z
=
min
{
X
,
Y
}
Z=min{X,Y}
Z=min{X,Y} 的分布
F
Z
(
z
)
=
P
{
Z
≤
z
}
=
1
−
P
{
Z
>
z
}
=
P
{
X
>
z
,
Y
>
z
}
=
1
−
∬
x
>
z
,
y
>
z
f
(
u
,
v
)
d
u
d
v
F_Z(z)=P{Zleq z}=1-P{Z>z}=P{X>z,Y>z}=1-iint_{x>z,y>z}f(u,v)dudv
FZ(z)=P{Z≤z}=1−P{Z>z}=P{X>z,Y>z}=1−∬x>z,y>zf(u,v)dudv ，特别地，当
X
,
Y
X,Y
X,Y 相互独立时，有
F
Z
(
z
)
=
1
−
[
1
−
F
X
(
z
)
]
[
1
−
F
Y
(
z
)
]
F_Z(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]
FZ(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)] 。
这个变换还是比较巧妙的，同样这也提示我们，对于这类求最大最小的分布，可以去做类似处理。
Z
=
max
{
X
,
Y
}
Z=max{X,Y}
Z=max{X,Y} 的分布
F
Z
(
z
)
=
P
{
Z
≤
z
}
=
P
{
X
≤
z
,
Y
≤
z
}
=
∫
−
∞
z
d
x
∫
−
∞
z
f
(
x
,
y
)
d
y
F_Z(z)=P{Zleq z}=P{Xleq z,Yleq z}=int_{-infty}^zdxint_{-infty}^zf(x,y)dy
FZ(z)=P{Z≤z}=P{X≤z,Y≤z}=∫−∞zdx∫−∞zf(x,y)dy ，特别地，当
X
,
Y
X,Y
X,Y 独立时，有
F
Z
(
z
)
=
F
X
(
z
)
F
Y
(
z
)
.
F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z).
FZ(z)=FX(z)FY(z).
Z
=
X
+
Y
Z=X+Y
Z=X+Y 的分布
F
Z
(
z
)
=
P
{
X
+
Y
≤
z
}
=
∬
x
+
y
≤
z
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
.
F_Z(z)=P{X+Yleq z}=iint_{x+yleq z}f(x,y)dxdy.
FZ(z)=P{X+Y≤z}=∬x+y≤zf(x,y)dxdy.
Z
=
X
Y
Z=XY
Z=XY 的分布
Z
=
Y
X
Z=frac{Y}{X}
Z=XY 的分布
下面给出一些常见的二维随机变量的函数分布：
设
X
,
Y
X,Y
X,Y 独立，则：
（1）若
X
∼
B
(
m
,
p
)
,
Y
∼
B
(
n
,
p
)
Xsim B(m,p),Ysim B(n,p)
X∼B(m,p),Y∼B(n,p) ，则
X
+
Y
∼
B
(
m
+
n
,
p
)
.
X+Y sim B(m+n,p).
X+Y∼B(m+n,p).
（2）若
X
∼
P
(
λ
1
)
,
Y
∼
P
(
λ
2
)
Xsim P(lambda_1),Ysim P(lambda_2)
X∼P(λ1),Y∼P(λ2) ，则
X
+
Y
∼
P
(
λ
1
+
λ
2
)
.
X+Y sim P(lambda_1+lambda_2).
X+Y∼P(λ1+λ2).
写在最后
那到此，二维随机变量的理论内容就结束啦，掌握一维随机变量，再加上高数的二重积分的基础，这一章应该就问题不大。