# 1.算法效率

## 1.1 如何衡量一个算法的好坏

``````long long Fib(int N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
``````

# 2.时间复杂度

## 2.1 时间复杂度的概念

``````void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%dn", count);
}
``````

Func1 执行的基本操作次数 ： F(N) = N^2 + 2*N + 10

N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010

## 2.2 大O的渐进表示法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000

## 2.3常见时间复杂度计算举例

``````void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%dn", count);
}
``````

``````void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
++count;
}
printf("%dn", count);
}
``````

``````void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++k)
{
++count;
}
printf("%dn", count);
}
``````

``````const char* strchr(const char* str, int character)
{
while (*str != character)
{
str++;
}
return str;
}
``````

``````void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
``````

``````int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n - 1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}
``````

N / 2  / 2  / 2  / 2  / 2  / 2 ...... / 2  / 2  = 1

``````long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}
``````

``````long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
``````

# 3.空间复杂度

``````void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
``````

``````// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if (n == 0)
return NULL;
long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
return fibArray;
}
``````

在动态内存中开辟了N+1个sizeof(long long)大小的空间，所以空间复杂度为O(N)

``````long long Fac(size_t N)
{
if (N == 0)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}
``````

``````long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
``````

# 5.复杂度的OJ练习

## 5.1消失的数字OJ链接：

https://leetcode-cn.com/problems/missing-number-lcci/

1.创建一个大小为N + 1的数组，然后用-1将数组初始化，再将题目中给定数组中的数字放到新创建数组中对应下标的位置，最后将新数组中的数字遍历一遍，找出-1所对应的下标，该下标的数字就是所要找的消失的数字了。

2.将题目给定数组中的数字全都异或一次，再与从0到N+1的数字全部异或一次，就可以得到那个消失的数字了，其思路类似于在一个数组中寻找单身狗。

3.将题目给定数组进行快速排序，而后进行二分查找，找不到的那个数字即为要找的数字了。

4.将N+1个数字进行全都加起来，然后减去题目给定数组中的N个数字，最后得到的数字就是要找的消失的数字了。

## 3.2 旋转数组OJ链接：

https://leetcode-cn.com/problems/rotate-array/

1.将最后一个数用一个临时变量保存起来，然后将数组中前面的数依次往后挪动，最后将临时变量中的数放到数组的第一个位置，这样的操作循环k次，最坏的情况下是k=N-1，这时时间复杂度是O(N^2)，而空间复杂度是O(1)，因为只开辟了1个临时变量，并且这个变量的空间是重复利用的。

2.额外开辟一个同样大小的数组，然后按照k的大小截取数据依次放入数组中，这种做法的时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)，这是以空间来换时间的做法。

3.根据k的大小将数组分位2个部分，第1个部分和第2个部分分别自旋，最后再将整个数组自旋一次，由于旋转交换的过程中只开辟了一个临时变量的空间，所以空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(N)。

``````void reverse(int* nums, int left, int right)
{
while (left < right)
{
int tmp = nums[left];
nums[left] = nums[right];
nums[right] = tmp;
++left;
--right;
}
}

void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
k %= numsSize;
reverse(nums, 0, numsSize - 1 - k);
reverse(nums, numsSize - k, numsSize - 1);
reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}``````

THE END